Funzioni indipendenti e nucleo

[anto_zoolander]

Ciao!

Non riesco nè a dimostrare nè a trovare un controesempio di questa affermazione

se $X$¹ è un $k$ spazio vettoriale di dimensione $n$ e $f_1,...,f_n$ sono funzionali linearmente indipendenti non nulli allora $bigcap_(k=1)^(n)Ker(f_k)={0}$

Ma sono praticamente sicuro che sia vera perché ${f_1,...,f_n}$ forma una base del duale pertanto se $x in bigcap_(k=1)^(n)Ker(f_k)$ allora ogni funzionale, essendo combinazione delle $f_k$, si annullerebbe in $x$

Quindi si tratterebbe di costruire, dato un punto $x$, un funzionale che non si annulli in $x$.

Ho tipo il blocco dello scrittore

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Note

1. edit corretto un typo ↑

[anto_zoolander]

Metto la dimostrazione giusto per non lasciare il post vuoto

Dati $z in Xsetminus{0}$ e $B={x_1,...,x_n}$ una base esistono $lambda_1,...,lambda_n in k$ per cui

$z=sum_(k=1)^(n)lambda_k x_k$

poiché $zne0$ esiste almeno un $lambda_r ne0$ con $r in {1,...,n}$

Pongo

$varphi(x)=E_r * C_B(x)$

Dove $E_r$ è l’$r$-esimo vettore della base canonica di $k^n$ e $C_B:X->k^n$¹ l’applicazione delle coordinate

Allora $varphi(z)=sum_(k=1)^(n)lambda_k E_r*C_B(x_k)=lambda_r ne0$

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Note

1. edit avevo scritto $RR^n$ e non $k^n$ ↑

[Ancona]

ti conviene rileggere un attimo;)

[anto_zoolander]

Ciao Ancona

A cosa ti riferisci? Mi sono accorto di tre refusi
-ho scritto all’inizio $V$ e poi $X$
-sarebbe meglio $E_r^T*C_B(x)$
-non aver specificato che lo spazio sia non banale

[Ancona]

Allora ti tocca ri-rileggere

[Bokonon]

Perchè non sfrutti il fatto che c'è un isomorfismo? Ad ogni $f_k$ corrisponde un $v_k$ (e viceversa) e $B={v_1, v_2, ..., v_k,..., v_n}$ è una base per V
Il $ker(v_k)$ non è altro che l'iperpiano $v_k^Tx=0$ dove $x=<x_1, x_2, ..., x_k, ...x_n>$
Quindi il problema si riduce a fare il sistema degli $n$ iperpiani e otteniamo il sistema omogeneo $B^Tx=0$ la cui unica soluzione è quella banale dato che $B^T$ ha rango n per definizione.

[anto_zoolander]

Ciao bok
L’errore alla fine era semplicemente che prima ho preso $k$ e poi $RR$

Volevo evitare come la peste le matrici in questa dimostrazione
Comunque si è anche un modo in effetti; usando il fatto che $X$ e il suo duale siano isomorfi

[Ancona]

[...] Quindi il problema si riduce a fare il sistema degli n iperpiani e otteniamo il sistema omogeneo BTx=0 la cui unica soluzione è quella banale dato che BT ha rango n per definizione.

Complimenti, hai vinto il premio "prendi una dimostrazione inutilmente complicata e prova a fare di peggio"

[Bokonon]

Complimenti, hai vinto il premio "prendi una dimostrazione inutilmente complicata e prova a fare di peggio"

Beh sempre un premio più di te e un post sensato in più di te in un thread in cui ne hai scritti 3.

[Ancona]

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