Funzioni indipendenti e nucleo

[gugo82]

Data una base di uno spazio vettoriale, sai dimostrare che l’unico funzionale che si annulla su ogni vettore di tale base è quello nullo?

[Bokonon]

Data una base di uno spazio vettoriale, sai dimostrare che l’unico funzionale che si annulla su ogni vettore di tale base è quello nullo?

In effetti l'intersezione di tutti gli spazi perpendicolari a tutti i funzionali deve essere perpendicolare a tutti i funzionali. E lo spazio perpendicolare ad una base è il funzionale nullo.

[anto_zoolander]

@arnett
È semplicemente il prodotto scalare un vettore della base canonica di $k^n$ e il vettore delle coordinate di $z$.
Ho preso un punto è costruito un funzionale che non si annulla in quel punto

[anto_zoolander]

@gugo
L’immagine è generata dalle immagini dei vettori della base del dominio; sotto quelle ipotesi l’immagine è ${0}$

[anto_zoolander]

Dici a cosa si riferisse Ancona?
Si burlava di me se guardi il primo post prima pongo “un $k$ spazio” e poi sotto scrivo $RR^n$

[anto_zoolander]

Il quesito mi serviva per dimostrare una affermazione relativa ai poliedri(in ambito ricerca operativa, lì non dimostrano nulla)

se $X$ è un $RR$ spazio vettoriale di dimensione $n$, $varphi_1,...,varphi_n$ funzionali indipendenti, $P={x in X: forall i in I_n(varphi_i(x)leqb_i)}$ un poliedro allora

$z$ è un vertice¹ se e solo se $abs({i in I_n: varphi_i(z)=b_i})=n$

in altre parole un poliedro generato da $varphi_1,...,varphi_m$ vincoli con $n<m$ ha al più $(m!)/(n!(m-n)!)$ vertici

la dimostrazione di sopra la utilizzo in <=

di fatto se $z$ non fosse un vertice esisterebbero $x,y$ distinti nel poliedro per i quali $z=tx+(1-t)y$ con $t in (0,1)$ e quindi si fa la seguente considerazione

- se esiste un $i in I_n$ per cui $varphi_i(x)<b_i$ allora $varphi_i(z)=tvarphi_i(x)+(1-t)varphi_i(y)<b_i$ => assurdo

- se esiste un $i in I_n$ per cui $varphi_i(y)<b_i$ => analogo => assurdo

quindi si deve avere $varphi_i(x)=varphi_i(y)=varphi_i(z)$ per ogni $i in I_n$
ma per quanto dimostrato sopra, essendo le $varphi_i$ indipendenti, il sistema ammette un'unica soluzione e quindi si ottiene comunque un assurdo.

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Note

1. non esistono due punti $x,y$ distinti del poliedro tali che $z in (x,y)$ ↑