Espressione di una varietà in termini di fibra di un'applicazione

[chrichri975]

Salve a tutti,
sto scrivendo la tesi (per una triennale in fisica) e mi è sorto un dubbio:
l'argomento della tesi è la riformulazione della meccanica lagrangiana nel linguaggio delle varietà differenziabili e come testo di riferimento sto seguendo il libro di Arnold "Metodi matematici della meccanica classica"; il libro contiene anche le definizioni e alcuni risultati principali riguardo le varietà differenziabili e in particolare, nel caso della definizione di sottovarietà immersa, dà un enunciato un po' diverso da quello che ho studiato io:
il libro dice che: si dice che $M$ è una sottovarietà di dimensione k immersa nello spazio euclideo $E^n$ se in un intorno $U$ di ogni punto $x\in M$ sono definite $n-k$ funzioni $f_1: U\rightarrow \mathbb{R}$, ..., $f_{n-k}: U\rightarrow \mathbb{R}$ tali che l'intersezione di $U$ con $M$ è individuata dalle equazioni $f_1=0$, ..., $f_{n-k}=0$ e i vettori $grad f_1$, ..., $grad f_{n-k}$ sono linearmente indipendenti.
l'enunciato che conosco io è quello credo standard: Sia $X$ una varietà differenziabile di dimensione n, $Z\subseteqX$ si dice sottovarietà di dimensione k se $\forall z\in Z \exists U_z$ intorno aperto di $z$ in $X$ e un'applicazione $C^\infty$ $G_z:U_z\rightarrow \mathbb{R}^k$ tale che: la restrizione di $G_z$ ad $U_z\cap Z$, $F_z$, è una biezione di $U_z\cap Z$ con un aperto $V$ di $\mathbb{R}^k$ e l'inversa di $F_z$ è un'applicazione $C^\infty$.
Il libro usa le equazioni $f_1=0$, ..., $f_{n-k}=0$ per definire i vincoli quindi piuttosto che scegliere una delle due definizioni pensavo di metterle entrambe e scrivere due righe a commento; penso di aver sistemato da me il fatto che la seconda implichi la prima (ho applicato il teorema della funzione implicita e ho scritto la sottovarietà in forma di grafico e poi ho considerato l'applicazione di proiezione) ma non so dire nulla sul viceversa.
Cercando su internet, nella pagina di Wikipedia inglese sulle summersioni, ho trovato quest'affermazione: Given a submersion between smooth manifolds $f:M\rightarrow N$ the fibers of $f$ can be equipped with the structure of a smooth manifold. This theorem coupled with the Whitney embedding theorem implies that every smooth manifold can be described as the fiber of a smooth map $f: \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$.
La mia domanda quindi è: è vera l'affermazione qui sopra? E potreste darmi delle referenze a riguardo?
Pensavo di scriverlo come accenno nella tesi e lasciare semplicemente una fonte senza allontanarmi troppo dall'argomento principale.

[dissonance]

Ci sono un sacco di definizioni equivalenti di sottovarietà, come hai notato (link). L'enunciato che scrivi sembra una riscrittura in "geometrese" del teorema della funzione implicita. Se fossi in te eviterei di invischiarmi troppo in questi dettagli e cercherei di andare al sodo. Parla di meccanica, e soprattutto fai molti esempi.

È pieno di scritti che passano decine di pagine a parlare di sottomonoidi generati dal pseudogruppoide cocommutativo, e poi l'unico esempio che fanno (se lo fanno) è il moto rettilineo uniforme. Il lettore della tua tesi dovrebbe convincersi che descrivere la meccanica con la geometria differenziale è utile. Cerca di smentire Dick Feynman, che disse: physics is to sex like mathematics is to masturbation.

[chrichri975]

Il fatto è che più studio e più mi rendo conto di preferire la parte matematica a quella fisica, e quello che faccio poi ne risente.. Comunque terrò a mente il tuo consiglio, grazie!

[dissonance]

È una cosa normale. Diceva Fioravante Patrone, in un post non troppo vecchio, che questo succede un po' con tutti gli studenti di fisica. Poi passa, tranquillo.