Matematicamente.it

Ciao a tutti. Vi chiedo un'aiuto sulla dimostrazione della costruzione del pentagono regolare (col solo compasso) inscritto a una circonferenza data. La richiesta è la seguente:
Sia $ A $ un punto qualsiasi del cerchio $ K $. Si possono quindi trovare su $ K $ i punti $ B $, $ C $, $ D $ tali che gli archi $ AB $, $ BC $ e $ CD $ siano di $ 60° $. Con centro in $ A $ e $ D $ e raggio $ AC $ tracciamo due archi che si intersechino in $ X $. Allora, se $ O $ è il centro di $ K $, un arco di centro $ A $ e raggio $ OX $ incontrerà $ K $ nel punto medio $ F $ di $ BC $ (ciò è stato dimostrato in un paragrafo precedente del libro da cui sto traendo la richiesta). Con centro in $ F $ e raggio uguale a quello di $ K $ descriviamo due archi che incontrino $ K $ in $ G $ e in $ H $. Sia $ Y $ un punto avente da $ G $ e da $ H $ distanza uguale a $ OX $ e che si trova, rispetto a $ O $, dalla parte opposta di $ X $; si dimostri che $ AY $ sia di lunghezza uguale al lato del pentagono regolare inscritto a $ K $.
Segue l'immagine della costruzione:


Innanzitutto volevo chiedervi: quale deve essere il requisito di $ AY $ affinché questo sia il lato del pentagono regolare inscritto? Il ragionamento che ho seguito è stato: considero un cerchio qualsiasi di raggio $ r $, con la trigonometria calcolo la lunghezza del lato del pentagono regolare inscritto a questo, quindi la lunghezza del lato sarà un multiplo di $ AY $. È ovvio però che in quel caso dovrei calcolare la lunghezza di $ AY $ in funzione del raggio di $ K $. Se mi confermaste questo ragionamento proverei a seguire questa strada, non l'ho già fatto perché mi sembra qualcosa di un po' forzato, mi aspettavo invece di poter seguire una strada più "generale", senza dover scendere a calcoli. Grazie