Es cambiamento di base t. lineare

[botta]

Salve a tutti!

ho un dubbio per quanto riguarda la parte $ b) $ dell'esercizio in figura.



Pensavo di fare 2 cambiamenti di base, ovvero il primo con $B_2$ trovavo la matrice associata a $T$ rispetto alla base $B_1$ e la base canonica, poi facevo l'altro cambiamento di base con $B_1$ e trovavo la matrice associata rispetto ad entrambe le basi canoniche.

Il risultato però non è quello sperato..qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo!

[anto_zoolander]

Se hai $T(X)=AX$ rispetto a qualche base e $P$ è la matrice di passaggio del dominio e $Q$ del codominio dalle basi che hai a quelle che vuoi avere

$AX=Y=> AP^(-1)X’=Q^(-1)A’X’ => QAP^(-1)=A’$

Quindi per cambiare la matrice rappresentativa devi moltiplicare la matrice che hai

a sinistra - per la matrice di passaggio del codominio che va dalla base nuova a quella vecchia

a destra - per la matrice di passaggio del dominio che va dalla base vecchia alla base nuova

Se ci pensi questo è perché $P^(-1)X’$ ti manda le coordinate nella nuova base in quella vecchia, poi calcola $A(P^(-1)X’)$ nella vecchia base e ti manda queste coordinate in quella nuova applicando $Q$

[Bokonon]

@Anto Hai provato a risolverlo? Te lo chiedo perchè non torna.
Se chiamo C la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi canoniche, allora $C=B_1XB_1^(-1)$ dove X è la matrice associata all'applicazione rispetto alla base $B_1$ nello spazio di partenza.
$X=B_2AB_2^(-1)$ da cui A è la nostra matrice associata alle due basi.
Sostituendo $C=B_1B_2AB_2^(-1)B_1^(-1)=B_1B_2A(B_1B_2)^(-1)$ ma il risultato non torna.

Francamente non è il primo esercizio che posta con un risultato che non mi torna.
Mi verrebbe da chiedergli dove li prende.

[botta]

capito!! scrivo tutti i passaggi che magari serve anche ad altri!

$P$, che è la matrice di cambiamento da $B_1$ alla base canonica di $R^2$, è

$P_(B1),_\bar B = ((1,0),(-1,2))$

quindi $P^(-1)$ è la matrice di cambiamento da $\bar B$ a $B_1$
trovo subito $P^(-1) = ((1,0),(1/2,1/2))$

mentre $Q$, che è la matrice di cambiamento da $B_2$ alla base canonica di $R^2$ è

$Q_(B2),_\bar B = ((-1,2),(0,1))$

se io faccio $Q*A = ((-2,2),(1,2))$ e la chiamo $A^'$

ora devo fare $A^'$$*P^(-1) = ((-1,1),(2,1))$

Fantastico grazie mille!

[anto_zoolander]

@bok
onestamente no non avevo provato

@botta
figurati