Applicazione lineare

[alemar05]

Buongiorno, avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio, non ho idea di come vada fatto. Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?
Data l'applicazione lineare
$ L( ( x ),( y ),( z ) )=( ( x , -y , z ),( 0 , 3y , -z ),( x , +2y ,0 ) ) $
e dati vettori
$ v_1=( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) ) $
$ v_2=( ( 0 ),( 1 ),( 2 ) ) $
Scrivere un'equazione del sottospazio
$ W=Span{L(v_1),L(v_2) }sube ℝ^3 $

[alemar05]

Beh zero idee? Se non altro devi calcolare $"L"v_1$ e $"L"v_2$. Comunque per come l'hai scritta è $"L":\RR^3\to\M_{3, 3}(\RR)$ perciò quello span non può giacere in $\RR^3$. Credo tu intendessi $"L"(x, y,z)=(x-y+z,3y-z,x+2y)$.

Non saprei, il professore ha scritta così. Comunque ho ricavato $ L(v_1) $ e $ L(v_2) $ rispettivamente:
$ { ( x=2-2t ),( y=t ),( z=3t-2 ):} $
$ { ( x=2-2t ),( y=t ),( z=3t-1 ):} $
Cosa ci faccio adesso?

[alemar05]

Quelli non sono $"L"v_1$ e $"L"v_2$.

Hai ragione, ho sbagliato. Li calcolo subito. Dopo averlo fatto come proseguo?

[alemar05]

$ L(v_1)=(1,4,5) $
$ L(v_2)=(1,1,2) $
Sono linearmente indipendenti dunque la dimensione del sottospazio è 2. Io ho ricopiato il testo, non saprei dirti altro sulla legge di L

[alemar05]

Beh inizia a calcolarli. Poi: sai cos'è lo span di due vettori? Sai come determinare se un vettore generico appartiene a tale span?

Un vettore generico vi appartiene se può essere scritto come combinazione lineare dei vettori che lo generano.

[alemar05]

Il sistema che ho ottenuto è il seguente:
$ { ( lambda_1+lambda_2=x ),( 4lambda_1+lambda_2=y),( 5lambda_1+2lambda_2=z):} $
Se non ho fatto errori l'equazione dovrebbe essere $ x-y-z=0 $
Corretto?