Sia $W = << 1+t+t^3, 1+t+t^2, -2-2t+7t^2+t^3, 2t^2 - t^3 >>$ il sottospazio dello spazio vettoriale reale $RR_3[t]$ dei polinomi nell’indeterminata $t$ di grado $<= 3$. Determinare una base di $W$.
Seguendo un esempio trovato su internet, ho moltiplicato i quattro vettori per degli scalari in questo modo:
a(1+t+t^3) + b(1+t+t^2) + c(-2-2t+7t^2 +t^3) + d(2t^2-t^3) = (0,0,0,0)
Ho messo poi a sistema:
a + b - 2c = 0
at + bt - 2ct = 0
bt^2 +7ct^2 + 2dt^2 = 0
at^3 +ct^3 -dt^3 = 0
Da qui non ho più considerato le t e ho proseguito cercando di dimostrare che l'unica soluzione fosse a=b=c=d=0 e che quindi i vettori, essendo linearmente indipendenti, costituissero una base di W. Ma nel risolvere il sistema sono arrivata a un punto morto dove tutto è in funzione di uno degli scalari e non so come proseguire.
Grazie!
