Ciao, sto tentando di ricostruire la definizione di forme bilineari congruenti, definizione che ho visto applicata in una dispensa che sto studiando, senza che però venga mai data esplicitamente.
Sia dato \(\displaystyle V \) vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{K} \), finito dimensionale, e siano $\phi, \psi: V \times V \rightarrow \mathbb{K}$ bilineari. Quando è che si dicono congruenti? Ho alcune ipotesi:
1) data una base di $V$ si dicono congruenti se hanno matrici rappresentative (rispetto a quella base) congruenti
2) per ogni base di $V$ le relative matrici rappresentative son congruenti
3) esiste una base di $V$ per cui le due matrici rapprentative sono congruenti
Escluderei la 1), la definizione dovrebbe essere slegata da una base specifica. La 2) sembra molto restrittiva, per altro è equivalente a una definizione trovata altrove:
4) $\phi, \psi$ sono congruenti se e solo se esiste $f: V \rightarrow V$ lineare e invertibile tale che $\psi(v,w)=\phi(fv,fw)$ per ogni $v, w $ in $V$
Sapreste dirmi quale è corretta? Grazie in anticipo!