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Ciao, sto tentando di ricostruire la definizione di forme bilineari congruenti, definizione che ho visto applicata in una dispensa che sto studiando, senza che però venga mai data esplicitamente.

Sia dato \(\displaystyle V \) vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{K} \), finito dimensionale, e siano $\phi, \psi: V \times V \rightarrow \mathbb{K}$ bilineari. Quando è che si dicono congruenti? Ho alcune ipotesi:
1) data una base di $V$ si dicono congruenti se hanno matrici rappresentative (rispetto a quella base) congruenti
2) per ogni base di $V$ le relative matrici rappresentative son congruenti
3) esiste una base di $V$ per cui le due matrici rapprentative sono congruenti

Escluderei la 1), la definizione dovrebbe essere slegata da una base specifica. La 2) sembra molto restrittiva, per altro è equivalente a una definizione trovata altrove:

4) $\phi, \psi$ sono congruenti se e solo se esiste $f: V \rightarrow V$ lineare e invertibile tale che $\psi(v,w)=\phi(fv,fw)$ per ogni $v, w $ in $V$

Sapreste dirmi quale è corretta? Grazie in anticipo!

In genere si parla di "matrici congruenti", non di forme bilineari. Comunque, sarà la 4. Nota che essa implica le altre tre. Non capisco la differenza tra 1 e 3 in realtà.

dissonance ha scritto:In genere si parla di "matrici congruenti", non di forme bilineari. Comunque, sarà la 4. Nota che essa implica le altre tre. Non capisco la differenza tra 1 e 3 in realtà.

La 1 è una definizione che dipende dalla base, infatti la do a base fissata. La 3 è indipendente, basta che esista una base tale che...

O mi sto confondendo e sono veramente la stessa cosa? In caso potresti chiarirmi?

Secondo me sono tutte equivalenti.

dissonance ha scritto:Secondo me sono tutte equivalenti.

A naso 1 e 2 mi sembra difficile siano equivalenti, come mai dici di sì?

Ho risolto, sono effettivamente tutte e 4 equivalenti, grazie a tutti