Ahimè mea culpa per la poca dimestichezza nella geometria differenziale ma non riesco a capire che passaggi si facciano per ottenere questa formula finale che trovate nel punto 5. Come ci si arriva a scriverla così?
Premetto alcune definizioni e risultati che possono essere utili a capire il mio problema.
- $T_{p}(M)=\{v:\mathcal{F}(M)\rightarrow\mathbb{R}\}$ è lo spazio tangente ad M in p dove M è una varietà liscia, $\mathcal{F}(M)$ è l'algebra delle funzioni lisce.
- Data una carta \( \xi=(x^1,\dots,x^n) \) allora per ogni funzione $f$ liscia su M è ben definita l'operazione \( \frac{\partial f}{\partial x^i}(p):=\frac{\partial (f\circ \xi^{-1})}{\partial x^i}(\xi(p))\qquad i\in[1,n] \)
Allora\( \partial_{i}|_p:=\frac{\partial}{\partial x^i}\big|_p:\mathcal{F}(M)\rightarrow \mathbb{R} \) - Date M, N due varietà differenziabili di dimensione rispettivamente m e n. La mappa differenziale è così definita \( d\phi_p:T_{p}M\rightarrow T_{\phi(p)}N \) tale che \( d\phi_{p}(v)=v_{\phi} \) dove \( v_{\phi}(f):=v(f\circ\phi) \)
- (Teorema della base)M varietà differenziabile, \( \xi=(x^1,\dots,x^m) \) una carta di M in un inteorno di $p$. I vettori \( \partial_{1}|_p,\dots,\partial_{m}|_p \) formano una base per $T_{p}M$ e quindi \( v=\displaystyle\sum_{i=1}^{m} v(x^i)\partial_i|_p \)
- Il differenziale manda una base in una base a meno dello Jacobiano. In formule:
date M e N due varietà differenziabili di dimensione rispettivamente m e n, \( \phi: M\rightarrow N \) un'applicazione liscia, sia \( \xi=(x^1,\dots,x^m) \) una carta di M che contiene il punto p e \( \eta=(y^1,\dots,y^n) \) una carta di N che contiene \( \phi(p) \) , allora\( d\phi_{p}(\frac{\partial}{\partial x^j}\big|_{{p}})=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial(y^i\circ\phi)}{\partial x^j}(p)\frac{\partial}{\partial y^i}\bigg|_{\phi(p)} \)
