eliminazione di Gauss- matrice a scalini

[cianfa72]

ciao,

ho un dubbio sul metodo di eliminazione di Gauss applicato ad una matrice quadrata.
Supponiamo di esser arrivati al passo $k$ in cui gli elementi $a_{i,k}^((k))$ per $i>=k$ sono tutti nulli.

Come procede ora l'eliminazione ? Secondo alcune fonti si procede prendendo in considerazione la sottomatrice ottenuta eliminando la riga $k$ e la colonna $k$. In questo caso la matrice iniziale viene comunque ridotta a scalini ?

grazie

[axpgn]

Puoi fare un esempio concreto? Non mi è ben chiaro il problema ...
Il metodo è sempre quello, non riesco a comprendere perché dovrebbe cambiare ...

[cianfa72]

Prendi ad esempio:
$[[1,2,-1,1],[1,2,1,0], [3,6,0,1],[2,4,1,1]]$

Passo 1 (azzeramento elementi prima colonna):
$[[1,2,-1,1],[0,0,-2,1], [0,0,-3,2],[0,0,-3,1]]$

La matrice ottenuta ha gli elementi $a_{i,2}^((2)) $ per $ i=2,3,4$ tutti nulli. Ora se si procede considerando la sottomatrice ottenuta eliminando la seconda riga e la seconda colonna (e quindi prendiamo come pivot l'elemento $a_{3,3}^((2))=-3$) otterremo una matrice triangolare superiore ma non a scalini

[3m0o]

Prendi ad esempio:
$ [[1,2,-1,1],[1,2,1,0], [3,6,0,1],[2,4,1,1]] $

Passo 1 (azzeramento elementi prima colonna):
$ [[1,2,-1,1],[0,0,-2,1], [0,0,-3,2],[0,0,-3,1]] $

La matrice ottenuta ha gli elementi $ a_{i,2}^((2)) $ per $ i=2,3,4 $ tutti nulli. Ora se si procede considerando la sottomatrice ottenuta eliminando la seconda riga e la seconda colonna (e quindi prendiamo come pivot l'elemento $ a_{3,3}^((2))=-3 $) otterremo una matrice triangolare superiore ma non a scalini

Ma come hai ottenuto quella matrice? Io ottengo
$ [[1,2,-1,1],[0,0,2,-1], [0,0,3,-2],[0,0,3,-1]] $
La seconda riga meno la prima riga,
la terza riga meno 3 volte la prima riga,
la quarta riga meno 2 volte la prima riga.
Poi continui semplicemente prendendo il come pivot \( a_{2,3}=2 \). E ottieni
$ [[1,2,-1,1],[0,0,1,-1/2], [0,0,0,-1/2],[0,0,0,1/2]] $
La seconda riga ho reso il pivot uguale ad 1 (puoi lasciare anche il 2)
La terza riga - 3 la seconda riga
La quarta riga - 3 la seconda riga
Poi continui prendendo come pivot \( a_{3,4} = -1/2 \). E ottieni continuando
$ [[1,2,-1,1],[0,0,1,-1/2], [0,0,0,1],[0,0,0,0]] $
Ed è a scalini.

[3m0o]

otterremo una matrice triangolare superiore ma non a scalini

Una matrice triangolare superiore è ridotta a scalini.
\[ \begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} &\ldots & \ldots& a_{1,n} \\
0& a_{2,2} & \ldots & \ldots& a_{2,n} \\
0& 0 &a_{3,3}& \ldots& a_{3,n} \\
\vdots& \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\
0& 0 & \ldots & 0&a_{n,n}
\end{pmatrix} \]
È ridotta a scalini con pivot gli elementi sulla diagonale.

[cianfa72]

Poi continui prendendo come pivot \( a_{3,4} = -1/2 \). E ottieni continuando
$ [[1,2,-1,1],[0,0,1,-1/2], [0,0,0,1],[0,0,0,0]] $
Ed è a scalini.

E' proprio qui il mio dubbio: dalla letteratura (vedi per es https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/831-eliminazione-di-gauss.html step 4 algoritmo di Gauss) al passo 2 visto che gli elementi $ a_{i,2}^((2)) $ per $ i=2,3,4 $ sono tutti nulli si dovrebbe procedere considerando la sottomatrice ottenuta eliminando la seconda riga e la seconda colonna: $ [[-3,2],[-3,1]] $ ovvero $ [[3,-2],[3,-1]] $ nel tuo caso

[cianfa72]

Una matrice triangolare superiore è ridotta a scalini.
\[ \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} &\ldots & \ldots& a_{1,n} \\ 0& a_{2,2} & \ldots & \ldots& a_{2,n} \\ 0& 0 &a_{3,3}& \ldots& a_{3,n} \\ \vdots& \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\ 0& 0 & \ldots & 0&a_{n,n} \end{pmatrix} \]
È ridotta a scalini con pivot gli elementi sulla diagonale.

Non ne sono sicuro....per es prendi il caso in cui $a_{2,2}=0$ e $a_{3,3}!=0$

[axpgn]

Scusami ma che definizione hai di "matrice ridotta a scalini" ?
Eccone una , cerca "Subsection RREF"

[cianfa72]

Scusami ma che definizione hai di "matrice ridotta a scalini" ?
Eccone una , cerca "Subsection RREF"

per matrice a scalini intendo REF (Row Echelon Form) e non RREF (Reduced Row-Echelon Form). Per la definizione di REF vedi per es qui

[axpgn]

Cambia poco (per quanto riguarda la forma) nel senso che i pivot possono essere diversi da $1$ (tanto li puoi ridurre quando vuoi) e i termini sopra i pivot possono essere non nulli (per averli devi applicare Gauss anche "al ritorno" e l'utilità consiste nell'avere le soluzioni già belle e pronte).
Ma il modo di arrivarci è lo stesso … continuo a non capire bene quello che vuoi dire … potresti gentilmente mostrarci tutti i passaggi che fai così come ha fatto 3m0o ? Grazie.