Interesezione basi spazio vettoriale

[Daniela0]

Buongiorno, dovrei trovare l'intersezione tra le seguenti basi e non capisco come debba ragionare per farlo.
Ho cercato di capire dai post relativi all'argomento ma mi viene molto difficile perché non mi è stato mai spiegato, e dato che non dovrò fare cose molto più complesse di questa non aveva senso perdermi nelle definizioni, grazie in anticipo.

$[[1,0],[1,0],[0,1]]$ $nn$ $[[1,1],[-1,0],[0,0]]$

[Daniela0]

Eppure negli esercizi che sto svolgendo nella soluzione, fatta da un professore, viene fatta questa intersezione e pubblico anche il risultato, che io non comprendo. Anzi, ne viene fatta più di una, le allego tutte.

$[[1,0],[1,0],[0,1]]$ $nn$ $[[1,1],[-1,0],[0,0]]$ = $[[1],[1],[0]]$

$[[0,0],[1,0],[0,1]]$ $nn$ $[[1,1],[-1,0],[0,0]]$ = $[[0],[1],[0]]$

$[[1],[-1],[0]]$ $nn$ $[[1],[0],[0]]$ = 0

[3m0o]

Molto probabilmente, ed è una scrittura che non ho mai visto, si tratta di intersezione di spazi vettoriali. Nel senso che il primo esempio che fai lo scrivi:
$ [[1,0],[1,0],[0,1]] $ $ nn $ $ [[1,1],[-1,0],[0,0]] $ = $ [[1],[1],[0]] $

Sarebbe \( V:=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,1) \} \cap \operatorname{span}\{(1,-1,0),(1,0,0) \}=:W \)
Allora hai due spazi vettoriali \( V \) e \( W \) generati dalle loro basi che d'ora in poi chiamerò \( v_1 =(1,1,0) \) e \( v_2=(0,0,1) \) per lo spazio \( V \) e \( w_1 = (1,-1,0) \) e \( w_2 = (1,0,0) \) per lo spazio \( W \).
In sostanza la domanda è trovare la base di \( V \cap W \). Come fare? Dalla definizione di intersezione sappiamo che se esiste un certo vettore \( u \in V \cap W \Rightarrow u \in V \wedge u \in W\), pertanto \( u \) è scrivibile come combinazione lineare di \( v_1 \) e \( v_2 \) (siccome sta in V) e anche come combinazione lineare di \( w_1, w_2 \) (siccome sta anche in W). Pertanto esistono degli scalari \( \alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 \) nel campo di riferimento del tuo spazio vettoriale (presumo \( \mathbb{R} \) ) in modo tale che
\[u=\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 = \beta_1 w_1 + \beta_2 w_2 \]
Dunque
\[\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 - \beta_1 w_1 - \beta_2 w_2 = 0 \]
Che è un semplice sistema, e scritto in forma matriciale diviene
\[ \begin{pmatrix}
1& 0 & -1&-1 \\
1& 0 & 1& 0\\
0& 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\alpha_1 \\
\alpha_2\\
\beta_1 \\
\beta_2
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0 \\
0\\
0
\end{pmatrix}\]
Riduci a scalini con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan la matrice del sistema e dovresti ottenere
\[ \begin{pmatrix}
1& 0 & 0&-1/2 \\
0& 1 & 0& 0\\
0& 0 & 1 & 1/2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\alpha_1 \\
\alpha_2\\
\beta_1 \\
\beta_2
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0 \\
0\\
0
\end{pmatrix}\]
Da cui deduci la soluzione del sistema con un parametro
\[ \begin{pmatrix}
\alpha_1 \\
\alpha_2\\
\beta_1 \\
\beta_2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\beta_2/2 \\
0\\
-\beta_2/2 \\
\beta_2
\end{pmatrix}\]
Effettuando una sostituzione \( \beta_2 = 2\gamma \in \mathbb{R} \) otteniamo una soluzione senza frazioni
\[ \begin{pmatrix}
\alpha_1 \\
\alpha_2\\
\beta_1 \\
\beta_2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\gamma\\
0\\
-\gamma \\
2 \gamma
\end{pmatrix}\]
Ora è sufficiente determinare \( u \) sostituendo i valori trovati ai coefficienti, e siccome abbiamo scelto \( u \in V \cap W\) arbitrario abbiamo trovato il modo di scrivere qualsiasi vettore all'interno di questo spazio, pertanto puoi anche trovare una base.
\[ u = \gamma v_1 + 0 v_2 = - \gamma w_1 + 2 \gamma w_2 = \begin{pmatrix}
\gamma \\
\gamma\\
0
\end{pmatrix} \]
Pertanto \( V \cap W = \operatorname{span}\{(1,1,0)\} \)

Procedi nello stesso modo anche per gli altri.