Esercizio: calcolo di autovalori ed autovettori di una matrice complessa e prodotto scalare Hermitiano

[dissonance]

@fedeing: Ti sei bloccato? Il punto (A) si risolve imponendo che la matrice sia Hermitiana, ovvero uguale alla sua trasposta e coniugata. Questo produce l'equazione
\[
z^2=z+1+3i, \]
che ha le soluzioni \(z=2+i, -1-i\).

Con il metodo che stavi seguendo insieme ad Armando, immagino saresti arrivato alla stessa conclusione, ma i conti sono parecchio più lunghi e complicati, ed è per quello che ti sei incagliato.

[j18eos]

Credo che fede.ing non abbia affatto letto la mia (lunga e incompleta) dimostrazione...

[fedeing.]

No scusate. A bloccarsi credo sia stato più il mio computer. Comunque:
Ultima cosa molto veloce, teorica, poi finalmente ci siamo; io questo fatto di imporre che la matrice sia Hermitiana (che ho notato essere una cosa che sta molto a cuore al mio professore) posso farlo precisamente quando? Sicuramente quando la matrice è a valori complessi. Ed a quali altre condizioni?
Ad esempio in questo esercizio lo faccio perchè mi è richiesta l'ortogonalità degli autovettori e quindi l'unica matrice che la rispetta come cosa, è quella simmetrica, cioè Hermitiana in campo complesso? Ho capito bene?

[j18eos]

Ha risposto già dissonance: una matrice è hermitiana se e solo se ammette autovalori reali e una base ortonormale di autovettori!

Quindi, quando leggi una cosa del genere, devi imporre che la matrice sia hermitiana;

in particolare, se la matrice è a soli valori reali, è più corretto parlare di matrice ortogonale.

'Stavolta sono stato più breve e corretto?

[fedeing.]

Fantastici. Grazie mille a tutti