Sistema risolvente rappresentazione rete 2-porte

Ho pensato di postare in questa sezione perchè, anche se di estrazione elettrotecnica, in realta' ritengo sia un tema di algebra lineare.

Consideriamo una generica rete elettrica lineare accessibile esternamente da 2 porte costituita all'interno da soli elementi lineari permanenti senza-memoria quali bipoli resistivi e generatori controllati di tensione/corrente (non sono ammessi pertanto generatori indipendenti di tensione o corrente).

Da un punto di vista topologico possiamo chiudere tale rete su 2 bipoli esterni in corrispondenza delle 2 porte di accesso. Applicando i metodi di analisi circuitali siamo in grado di impostare un sistema lineare omogeneo di $2N-2$ equazioni in $2N$ incognite (le tensioni e correnti di ramo) essendo $N$ il numero completo di rami ($N-2$ rami interni alla rete + 2 rami costituiti dai 2 bipoli esterni). Nel computo delle equazioni non compaiono le equazioni costitutive dei 2 bipoli esterni.

La questione ora è: tale rete elettrica è sempre rappresentabile esternamente da 2 equazioni lineari omogenee (al limite non linearmente indipendenti) ?

Secondo l'argomento del libro "Fondamenti di Elettrotecnica I" - Martinelli, Salerno la risposta è affermativa: il sistema omogeneo sopra descritto ($2N-2$ equazioni in $2N$ incognite) puo' esser risolto attraverso il metodo di eliminazione di Gauss eliminando le tensioni e correnti dei rami interni (le incognite per le tensioni e correnti dei bipoli interni sono $2(N-2) = 2N-4)$). Restano pertanto $2N-2-(2N-4) = 2$ equazioni omogenee per descrivere esternamente la rete.

Il punto dubbio è il seguente: cosa succede se il rango della matrice associata al sistema non è massimo ? Eliminando le sole incognite interne la matrice a scalini ottenuta potrebbe risultare con un numero residuo di equazioni omogenee maggiore di 2.

Cosa ne pensate ?

Il punto dubbio è il seguente: cosa succede se il rango della matrice associata al sistema non è massimo ? Eliminando le sole incognite interne la matrice a scalini ottenuta potrebbe risultare con un numero residuo di equazioni omogenee maggiore di 2.

Cosa ne pensate ?

Le due equazioni che hai ricavato puoi scriverle nella forma:

$[ A ][ V ]+[ B ][ I ]=0$

in quanto l'assenza di eccitazioni interne permette di scrivere un sistema di due equazioni lineari omogenee.
Le matrici A e B sono quadrate di ordine 2. Questo tipo di rappresentazione e' sempre possibile.

Inoltre, possiamo affermare che il rango della matrice dei coefficienti (la matrice che deriva dalla elaborazione della precedente equazione matriciale) e' pari a 2 poiché il sistema iniziale e' costituito da equazioni linearmente indipendenti.

Questa e' la trattazione base per definire le sei rappresentazioni di una rete 2-porte.
Attenzione. Questa discussione implica che esiste almeno una delle sei distinte rappresentazioni.

Potresti scrivere il paragrafo e l'edizione del libro?

Propongo di spostare l'argomento nella sezione Ingegneria.
Per rispondere alla tua domanda e' necessario conoscere i vincoli e le ipotesi dettate dall'Elettrotecnica e dalla Teoria delle Reti. Le conoscenze di analisi I, II, algebra e geometria sono scontate.

Le due equazioni che hai ricavato puoi scriverle nella forma:

$ [ A ][ V ]+[ B ][ I ]=0 $

in quanto l'assenza di eccitazioni interne permette di scrivere un sistema di due equazioni lineari omogenee.
Le matrici A e B sono quadrate di ordine 2. Questo tipo di rappresentazione e' sempre possibile.

Inoltre, possiamo affermare che il rango della matrice dei coefficienti (la matrice che deriva dalla elaborazione della precedente equazione matriciale) e' pari a 2 poiché il sistema iniziale e' costituito da equazioni linearmente indipendenti.

Proprio questo e' il punto: le equazioni di equilibro delle tensioni e delle correnti (rispettivamente LKV e LKC) sono linearmente indipendenti (questa affermazione deriva dalle proprieta' topologiche del grafo associato) ma quando aggiungiamo le $N-2$ equazioni costitutive dei bipoli interni della rete non possiamo escludere in generale che il sistema di equazioni omogenee risultante possa non essere a rango massimo (una o piu' equazioni linearmente dipendente dalle altre).

Questa e' la trattazione base per definire le sei rappresentazioni di una rete 2-porte.
Attenzione. Questa discussione implica che esiste almeno una delle sei distinte rappresentazioni.

Potresti scrivere il paragrafo e l'edizione del libro?

Fondamenti di Elettrotecnica, Volume II , G.Martinelli, M. Salerno - par VI.4.1: Rappresentazione generale di una rete 2-porte

Le due leggi di Kirchhoff, da sole, non permettono di scrivere un sistema di equazioni determinato.
Devi considerare anche le equazioni derivanti dalle caratteristiche esterne dei bipoli per ottenere un sistema di 2l equazioni indipendenti e lineari in 2l incognite (a proposito da dove salta fuori la tua notazione con N? ).
Riepilogando:
$l$ equazioni derivano dalle equazioni topologiche (di Kirchhoff);
$l$ equazioni derivano dalle equazioni tipologiche (caratteristiche esterne).


Detto cio', dovresti giustificare questa affermazione:

ma quando aggiungiamo le N−2 equazioni costitutive dei bipoli interni della rete non possiamo escludere in generale che il sistema di equazioni omogenee risultante possa non essere a rango massimo (una o piu' equazioni linearmente dipendente dalle altre).

Se hai applicato LKV e LKC considerando il sistema di maglie e l'insieme di taglio fondamentali, mi spieghi come fai ad ottenere due equazioni linearmente dipendenti?

Le due leggi di Kirchhoff, da sole, non permettono di scrivere un sistema di equazioni determinato.
Devi considerare anche le equazioni derivanti dalle caratteristiche esterne dei bipoli per ottenere un sistema di 2l equazioni indipendenti e lineari in 2l incognite (a proposito da dove salta fuori la tua notazione con N? ).
Riepilogando:
$ l $ equazioni derivano dalle equazioni topologiche (di Kirchhoff);
$ l $ equazioni derivano dalle equazioni tipologiche (caratteristiche esterne).

Corretto. Il punto è che per la rappresentazione esterna della rete 2-porte si prendono in considerazione:
$l$ equazioni topologiche (LKV e LKC) del circuito completo ottenuto chiudendo ciascuna porta della rete 2-porte sul corrispondente bipolo esterno
$l-2$ equazioni costitutive dei bipoli interni alla rete stessa (o tipologiche usando la tua notazione)

A quel punto si eliminano le tensioni e le correnti relative ai rami interni della rete: se le equazioni di cui sopra sono tra loro linearmente indipendenti allora no problem: dal processo di eliminazione restano 2 equazioni lineari omogenee nelle sole 4 incognite tensioni e corrente di porta.

Per rispondere alla tua domanda e' necessario conoscere i vincoli e le ipotesi dettate dall'Elettrotecnica e dalla Teoria delle Reti

Da questo punto di vista non mi sembra esistano vincoli particolari ad esclusione dell'ipotesi di rete lineare, permanente e senza-memoria (oltreche' come detto senza eccitazioni interne).

ma quando aggiungiamo le N−2 equazioni costitutive dei bipoli interni della rete non possiamo escludere in generale che il sistema di equazioni omogenee risultante possa non essere a rango massimo (una o piu' equazioni linearmente dipendente dalle altre).

Se hai applicato LKV e LKC considerando il sistema di maglie e l'insieme di taglio fondamentali, mi spieghi come fai ad ottenere due equazioni linearmente dipendenti?

Le equazioni dovute ad LKV e LKC per le maglie e tagli fondamentali del circuito completo sono senza dubbio linearmente indipendenti. Diverso è il discorso quando aggiungiamo le equazioni costitutive dei bipoli interni.

Ad esempio nel circuito che segue una equazione costitutiva e' combinazione lineare delle altre:

Torno sull'argomento. Stavo pensando che la condizione di esistenza della rappresentazione:

$ [ A ][ V ]+[ B ][ I ]=0 $

e' di fatto la stessa di applicabilita' del teorema di sostituzione: esistenza ed unicita' della soluzione per la rete 2-porte quando chiusa esternamente sui bipoli di porta.

Vi torna ?