Omologia relativa con disco e bordo

Messaggioda Alino » 05/09/2019, 19:51

Ciao a tutti! Sto cercando di calcolare i gruppi di omologia singolare delle sfere: per fare ciò considero prima la successione esatta della coppia e faccio considerazioni su di essa.

Sia $D^n$ il disco n-dimensionale e $S^(n-1)=del D^n$ un suo sottospazio. Suppongo che i coefficienti siano in $ZZ$ senza scriverlo ogni volta :D

Considero la coppia $(D^n, S^(n-1))$ e quindi la seguente successione esatta:

$... rarr H_i(D^n) rarr H_i(D^n, S^(n-1)) rarr H_(i-1)(S^(n-1)) rarr H_(i-1)(D^n) rarr ...$

Ora quello che so è che, essendo il disco contraibile, ha la stessa omologia del punto che ha $H_i({p})=0$ se $i>0$ e $H_0({p}) ~= ZZ$.

Perciò nel caso in cui $i>1$ ho la seguente successione esatta:

$0 rarr H_i(D^n, S^(n-1)) rarr H_(i-1)(S^(n-1)) rarr 0$

che mi ha l'isomorfismo tra i due gruppi (per proprietà delle successioni esatte).

Adesso devo gestire il caso $i=1$. Ho la seguente:

$0 rarr H_1(D^n, S^(n-1)) rarr H_0(S^(n-1)) rarr H_0(D^n) rarr 0$

Quindi penso che ora si debba specificare anche il valore di $n$: se $n>1$ allora $S^(n-1)$ è connessa per archi e quindi $H_0(S^(n-1)) ~= ZZ$. Se invece $n=1$ allora ho due componenti connesse e perciò $H_0(S^0) ~= ZZ⊕ZZ$.

Cosa posso dire allora su $H_1(D^n, S^(n-1))$? (ammesso che sia corretto quello che ho sviluppato)
Alino
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 32 di 34
Iscritto il: 15/02/2016, 11:23

Messaggioda j18eos » 06/09/2019, 10:07

Vado a memoria: non dovresti usare l'invarianza per omotopìe applicandola a \(\displaystyle D^n\)?
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
Avatar utente
j18eos
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6445 di 6501
Iscritto il: 12/06/2010, 16:27
Località: Napoli, ed ogni tanto a Trieste ^_^

Re: Omologia relativa con disco e bordo

Messaggioda Ancona » 06/09/2019, 13:25

Cosa posso dire allora su $H1(D^n,S^(n−1))$? (ammesso che sia corretto quello che ho sviluppato)


A una lettura veloce mi sembra che tu non abbia sbagliato niente. Ti manca di dire che $H1(D^n,S^(n−1))$ è il kernel della proiezione canonica da $ ZZ⊕ZZ $ a $ ZZ $, e dunque fa $ ZZ $.
Ancona
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 36 di 42
Iscritto il: 18/07/2019, 18:17

Re: Omologia relativa con disco e bordo

Messaggioda Alino » 08/09/2019, 23:48

Scusate se rispondo così in ritardo ma non ho avuto modo di farlo.

Quello che intendevo io era che sono in presenza, a seconda dei casi, delle due successioni esatte ( $H_0(D^n)~=ZZ $ essendo il disco connesso per archi) :

$ 0 rarr H_1(D^n, S^(n-1)) rarr ZZ rarr ZZ rarr 0 $ se $n>1$
$ 0 rarr H_1(D^n, S^(n-1)) rarr ZZ⊕ZZ rarr ZZ rarr 0 $ se $n=1$

però ora non so come concludere. Si deve usare qualche proprietà di "splitting"per determinare $H_1(D^n, S^(n-1)) $?
Alino
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 33 di 34
Iscritto il: 15/02/2016, 11:23

Messaggioda j18eos » 09/09/2019, 10:08

Sono entrambe successioni esatte corte, per cui...
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
Avatar utente
j18eos
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6449 di 6501
Iscritto il: 12/06/2010, 16:27
Località: Napoli, ed ogni tanto a Trieste ^_^

Re: Omologia relativa con disco e bordo

Messaggioda Alino » 09/09/2019, 17:00

Per cui non so :D
Ho fatto la domanda per questo. Detto in modo volgare, dalle successioni esatte corte di questo tipo dovrei avere un isomorfismo fra il terzo gruppo e il quoziente tra il secondo e il primo. Giusto o sbagliato? Se così fosse avrei quindi che $ H_1(D^n, S^(n-1))~=0$ se $n>1$ e $ H_1(D^n, S^(n-1))~=ZZ $ se $n=1$.
Alino
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 34 di 34
Iscritto il: 15/02/2016, 11:23

Messaggioda j18eos » 09/09/2019, 18:10

I risultati sono corretti, ma non ho capìto le affermazioni "volgari".
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
Avatar utente
j18eos
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6453 di 6501
Iscritto il: 12/06/2010, 16:27
Località: Napoli, ed ogni tanto a Trieste ^_^


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 12 ospiti