C^2 come spazio vettoriale su R e cambiamenti di base

Buonasera,
vi scrivo perché ho alcuni dubbi circa il seguente esercizio: Si considerino $ mathbb(C) $ e $ mathbb(C^2) $ come spazi vettoriali sul campo $ mathbb(R) $. E' data l'applicazione lineare $g:mathbb(C^2) rarr mathbb(C)$ definita da




$g ( ( ( z ),( w ) ) )=z+bar(w)$

Rappresentare $g$ in forma matriciale precisando le basi utilizzate.

La prima domanda che mi sorge spontanea è: per come è posto il problema $mathbb(C^2)$ e $mathbb(C)$ hanno rispettivamente dimensione 4 e 2 usando come basi $( ( 1 ),(0),(0),(0) );( ( 0 ),( i ),(0),(0));( ( 0 ),( 0 ),(1),(0));((0),(0),( 0 ),( i) )$ per $mathbb(C^2)$ e $((1),(0)),((0),(i))$ per $mathbb(C)$ .E in tal caso la matrice A associata a g sarebbe


$A:= [ ( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ) ] $

Desidererei chiedervi se quanto proposto è corretto.
Mi sento un po' turbato dal fatto che nella traccia il vettore appartenente a $mathbb(C^2)$ sia rappresentato come vettore di 2 componenti cosa che al momento non riesco a visualizzare, mentre mi sembra molto più naturale pensarlo in 4 componenti.

Infine avrei una domanda di carattere interpretativo. Quando viene richiesto di determinare la matrice che rappresenta ,rispetto ad una base, una applicazione lineare bisogna considerare tale base come base di arrivo o di partenza? Inoltre l'altra base non specificata viene supposta canonica?

il vettore appartenente a $CC^2$ sia rappresentato come vettore di 2 componenti

in $CC^2$ un elemento si scrive(comunemente) come

$[(x_1+iy_1),(x_2+iy_2)]$ oppure $(x_1+iy_1,x_2+iy_2)$

usando la prima si avrà $x_1*[(1_CC),(0_CC)]+y_1*[(0_CC),(i)]+x_2*[(0_CC),(1_CC)]+y_2*[(0_CC),(i)]$


quindi una sua base sarà ${.[(1_CC),(0_CC)],[(i),(0_CC)],[(0_CC),(1_CC)],[(0_CC),(i)].}$