Dubbio su Span, basi e dimensioni

Buongiorno,
ho una domanda "esistenziale" di tipo più teorico che altro, ma che mi sta mettendo in crisi profonda...

La dimensione dello Span e la dimensione di una base dello stesso Span coincidono?

Cerco di spiegarmi meglio.

In $RR^4$ consideriamo $U=Span(u_1, u_2)$ con

$u_1=((1),(1),(0),(0))$ e $u_2=((0),(1),(0),(1))$.

Poiché i due vettori sono linearmente indipendenti, $dim(Span(u_1, u_2))=2$.

Tuttavia, ad esempio il vettore

$w=u_1 + u_2= ((1),(1),(0),(0))+((0),(1),(0),(1))=((1),(2),(0),(1))$

può essere riscritto secondo la base canonica come $w=e^1+2e^2+e^4$, che, a loro volta sono tre vettori linearmente indipendenti e quindi $dim(Span(e^1, e^2, e^4))=3$.

Cosa mi sfugge?

La dimensione del sottospazio è data dalla cardinalità di una sua base.

Il punto cruciale è che dire

dimensione di una base dello stesso Span

è sbagliato. E' corretto dire, invece: "la dimensione del sottospazio vettoriale generato dalla base $\mathcal{B}$, ecc."

Non a caso, non scrivi $ \dim((u_1, u_2))=2$, bensì

$ dim(Span(u_1, u_2))=2$

Poi, il fatto che tu sia riuscito a scrivere $w=u_1 + u_2$ ti dice solo che questo appartiene allo span di $u_1, u_2$.

Ok, $w$ appartiene al sottospazio generato.
Ma il mio problema è capire perché la dimensione dello $Span(u_1, u_2)$ è $2$ e non $3$...
I vettori $u_1$ e $u_2$ formano una base per il sottospazio $U$, o sbaglio?
Il numero di vettori di una base non è costante, indipendentemente dalla base scelta?

Scusa ma credo di fare confusione con qualcosa ma non capisco dove...

Ti sfugge il fatto che \( \operatorname{span}(u_1,u_2) \neq \operatorname{span}(e_1,e_2,e_4) \), ad esempio il vettore \( (0,0,0,1) \in \operatorname{span}(e_1,e_2,e_4) \) e \((0,0,0,1) \not\in \operatorname{span}(u_1,u_2) \). Il teorema della dimensione ci dice che tutte le basi di uno spazio vettoriale finito hanno la stessa cardinalità, e per definizione la dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità di una sua base.
Tu hai preso due spazi vettoriali distinti, di dimensione diversa.
Per fare un'altro esempio
\( V = \operatorname{span}(e_1,e_2, e_1+e_2) \) è uno spazio di dimension 2 siccome una qualunque base di \( V \) ha cardinalità 2. Abbiamo si che \( \{ e_1, e_2, e_1+e_2 \} \) genera \( V \), ma non sono linearmente indipendenti.

I vettori $ u_1$ e $ u_2$ formano una base per il sottospazio U, o sbaglio?

Sì formano una base

Ma il mio problema è capire perché la dimensione dello $ Span(u_1, u_2)$ è $2$ e non $3$

Se $u_1$ e $u_2$ formano una base per quel sottospazio, come è possibile che la dimensione sia più grande di 2?


Guarda anche la risposta di 3m0o, dove ci sono altri esempi che dovrebbero chiarirti la situazione

Ok, $w$ appartiene al sottospazio generato.
Ma il mio problema è capire perché la dimensione dello $Span(u_1, u_2)$ è $2$ e non $3$...
I vettori $u_1$ e $u_2$ formano una base per il sottospazio $U$, o sbaglio?
Il numero di vettori di una base non è costante, indipendentemente dalla base scelta?

Scusa ma credo di fare confusione con qualcosa ma non capisco dove...

\( U:= \operatorname{span}(u_1, u_2) \), una possibile base di \( U \) è \( B_{U} = \{ u_1, u_2 \} \) in quanto:
1) abbiamo che \( B_{U} \) è una parte generatrice di \( U \), per definizione di \( U \) direi
2) ed inoltre i vettori dell'insieme \( B_U \) sono linearmente indipendenti. Difatti
\( \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 = 0 \Rightarrow \alpha_1 = \alpha_2 = 0 \)
Siccome 1) e 2) sono soddisfatti \( B_U \) è una base di \( U \) e dunque per definizione della dimensione di uno spazio vettoriale abbiamo che \( \dim(U)= 2 \).

Dimostriamo che \( \{ e_1, e_2,e_4 \} \) non sono una base di \( U \), la definizione di insieme di generatori è la seguente:
Un insieme \( X \subset V \) si chiama sistema di generatori di \(V \), se e solo se tutti gli elementi \( v \in V \) sono ottenuti come combinazione lineare di vettori di \( X \).

Qual'è parte della definizione di sistema di generatori non è rispettata nel nostro caso? Il fatto che \( \{ e_1, e_2,e_4 \} \not\subset U= \operatorname{span}(u_1,u_2) \), infatti risulta \( \not\exists \alpha_1, \alpha_2 \) scalari tale che \( e_1 = \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 \) ad esempio.

Pertanto \( \{ e_1, e_2,e_4 \} \) non sono un sistema di generatori \( U \) e dunque non sono una base di \( U \).

EDIT:
Abbiamo comunque che \( \operatorname{span}(u_1, u_2) \subset \operatorname{span}(e_1, e_2, e_4) \) quindi si ogni elemento di \( u= \alpha u_1 + \beta u_2 \in U \), con \( \alpha, \beta \) scalari; può essere ottenuto come combinazione lineare di \( e_1, e_2, e_3 \) infatti, \( u= \alpha e_1 + (\alpha+ \beta) e_2 + \beta e_4 \), e abbiamo pure che \( \{ e_1, e_2, e_4 \} \) sono linearmente indipendenti, però rimane il fatto che \( \{ e_1, e_2, e_4 \} \) non sono un sistema di generatori di \( U \), proprio perché non sono un sottoinsieme di \( U \), e dunque non sono una base di \( U \).

Grazie infinite per avermi finalmente chiarito la questione!
Siete stati davvero gentilissimi!!!