Semplice connessione

Messaggioda jinsang » 07/09/2019, 16:51

Salve,

Qualcuno sa darmi una mano con questa proposizione:
Sia $A \subset \mathbb{C}$ aperto connesso, sono fatti equivalenti:
1. $A$ semplicemente connesso
2. Ogni mappa continua $f:S^1->A$ si estende a mappa continua $\bar{f}:D^1->A$
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Re: Semplice connessione

Messaggioda otta96 » 07/09/2019, 17:20

Cosa hai provato?
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Re: Semplice connessione

Messaggioda jinsang » 07/09/2019, 17:31

Mi è venuto in mente qualcosa per 1.=>2.

Noi abbiamo già definito $f(e^{i\theta})=\gamma(\theta)$ per $\theta in [0, 2\pi]$, che è un cammino in $A$.
Prendiamo $p=\gamma(0)$ e sia $F$ una omotopia tra $\gamma(\theta)$ e $k_p(\theta)$ cammino costante (vale sempre $p$).
Quindi $F:[0,1]\times[0,2\pi]->A$
$F(1,\theta)=\gamma(\theta) " " F(0,\theta)=k_p(\theta)" " F(\rho,0)=F(\rho,2\pi)=p$

Ora definisco $bar{f}(\rho e^{i\theta})=F(\rho, \theta)$ e questa funziona.
Corretto?
Ultima modifica di jinsang il 07/09/2019, 18:19, modificato 1 volta in totale.
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Re: Semplice connessione

Messaggioda jinsang » 07/09/2019, 17:48

Ok forse adesso ho qualcosa anche per 2.=>1.

Prendiamo in $A$ un cammino chiuso $\gamma$.
Posso sempre immaginarlo parametrizzato come $\gamma:[0,2\pi]->A$.
Definisco $f(e^{i\theta})=\gamma(\theta)$.
Per ipotesi ho $\bar{f}:D^1->A$ che estende $f$ al disco.
Ma allora $F(\rho,\theta)=f(\rho e^{i\theta})$ è omotopia tra $f(0)$ e $\gamma$.
Quindi $\gamma$ è omotopo a un cammino costante (però non sto fissando il punto base con questa omotopia, cosa che mi piacerebbe fare).
Siccome posso fare ciò per ogni cammino in $A$, questo è semplicemente connesso.
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Re: Semplice connessione

Messaggioda jinsang » 07/09/2019, 18:10

otta96 ha scritto:Cosa hai provato?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Fustrazione: inizialmente, quando non riuscivo a svolgere l'esercizio.
Rassegnazione: dopo un po' che non mi venivano idee.
Speranza: quando ho postato qui.
Gioia: quando improvvisamente mi sono venute queste due idee.
Trepidazione: adesso, in attesa di conferma.
:lol:
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Re: Semplice connessione

Messaggioda otta96 » 07/09/2019, 18:52

Tutto giusto.
jinsang ha scritto:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Fustrazione: inizialmente, quando non riuscivo a svolgere l'esercizio.
Rassegnazione: dopo un po' che non mi venivano idee.
Speranza: quando ho postato qui.
Gioia: quando improvvisamente mi sono venute queste due idee.
Trepidazione: adesso, in attesa di conferma.
:lol:

:D
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