Base di spazio vettoriale di dimensione infinita.

Non ho trattato ancora l'argomento, ma rispulciando le note di Algebra Lineare I c'era un addendum che dice tra le altre cose:
"Nel caso di dimensione infinita la costruzione di una base non è facile. Per esempio consideriamo lo spazio vettoriale delle successioni. Le successioni \( (1,0,0, \ldots), (0,1,0,\ldots), (0,0,1,\ldots),\ldots \) sono linearmente indipendenti ma non formano una base. Nel caso infinito la dimostrazione dell'esistenza di una base non è costruttiva e ricorre a concetti della teoria degli insiemi."

Domanda: Perché quelle successioni non sono una base? Non vedo il motivo. Grazie

La successione che vale costantemente $1$ sta nello span di quell'insieme secondo te?

Domanda: Perché quelle successioni non sono una base? Non vedo il motivo. Grazie

Prendi, ad esempio, la successione costante ad 1..

Ma scusate la successione costante 1 non sarebbe \( (1,1,1,\ldots)=(1,0,0,\ldots) + (0,1,0,\ldots)+ \ldots \) ?

no, non puoi farlo perchè la somma di uno spazio vettoriale è un'operazione finitaria.

Ah, dunque ogni elemento \( v \in V \) di uno spazio vettoriale \( V \) di dimensione infinita dev'essere combinazione lineare di un numero finito di elementi della base di cardinalità infinita?

E per quale motivo non si definisce un operazione somma non finitaria?

Come faresti?

no, non puoi farlo perchè la somma di uno spazio vettoriale è un'operazione finitaria.

penso che già a livello intuitivo non abbia senso parlare di "somme infinite"; così come accade per le serie nei numeri reali. In genere per trattare questi problemi si usano gli spazi normati per bypassare la cosa tramite i limiti e le serie

Non è che non ha senso, ma allora devi dire cosa intendi per base. (https://en.wikipedia.org/wiki/Schauder_basis // https://ncatlab.org/nlab/show/basis+in+ ... l+analysis)

Ah, dunque ogni elemento \( v \in V \) di uno spazio vettoriale \( V \) di dimensione infinita dev'essere combinazione lineare di un numero finito di elementi della base di cardinalità infinita?

Per come la so io, dato un sottoinsieme \( A\subset V \) (non necessariamente finito!), esso è linearmente dipendente, per definizione, se è \( v\not\in\langle A\setminus\{v\}\rangle \), per ogni \( v\in A \). Puoi allora dimostrare subito che ogni sottoinsieme finito di \( A \) è ancora linearmente indipendente (in questo senso; che è - ovviamente - equivalente alla definizione con le somme di vettori [potrebbe esserti utile trovare in che modo ne è equivalente]).

Inoltre, una base di uno spazio vettoriale \( V \) è definita come un elemento massimale nel poset dei sottoinsiemi linearmente indipendenti di \( V \). Che ogni spazio vettoriale ammetta base si dimostra applicando il lemma di Tukey alla famiglia dei sottoinsiemi linearmente indipendenti di \( V \), che deve perciò essere a carattere finito.