Quesito sulle matrici, non so come procedere!

Messaggioda Blaze » 08/09/2019, 18:48

Salve a tutti. Mi stavo esercitando per l'esame di domani quando mi esce quest'esercizio.. E non so come procedere..
L'esercizio dice:

Sia $A$ una matrice di ordine n su $RR$, e sia $\lambda$ un suo autovalore. Sia $m$ un intero positivo.

(a) Stabilire se $\lambda$ elevato alla $m$ (scusate ma non riuscivo ad elevarla) è un autovalore di $A^m$;
(b) Le matrici $A$ e $A^m$ sono coniugate?

Come procedo? Grazie in anticipo..
Blaze
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Re: Quesito sulle matrici, non so come procedere!

Messaggioda spugna » 08/09/2019, 20:11

Se $lambda$ è un autovalore di $A$, per definizione esiste un vettore $v ne 0$ (eventualmente a coordinate complesse) tale che $Av=lambda v$. Si avrà allora

$A^2v=A(Av)=A(lambda v)=lambda(Av)=lambda(lambda v)=lambda^2 v$

e per induzione $A^m v=lambda^m v$ per ogni $m>=1$, ma questo significa esattamente che $v$ è un autovettore di $A^m$ relativo all'autovalore $lambda^m$.

Per quanto riguarda il punto (b), una condizione necessaria è che $A$ e $A^m$ abbiano gli stessi autovalori, cioè (usando il punto precedente) che l'elevamento alla $m-$esima potenza permuti gli autovalori di $A$ (conservando anche le molteplicità). Ti accorgerai che questo può succedere solo in un caso particolare...
$2019=phi^15+phi^13+phi^10+phi^4+phi^2+phi^0+phi^(-2)+phi^(-4)+phi^(-11)+phi^(-16)$
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Re: Quesito sulle matrici, non so come procedere!

Messaggioda Blaze » 09/09/2019, 09:00

spugna ha scritto:Se $lambda$ è un autovalore di $A$, per definizione esiste un vettore $v ne 0$ (eventualmente a coordinate complesse) tale che $Av=lambda v$. Si avrà allora

$A^2v=A(Av)=A(lambda v)=lambda(Av)=lambda(lambda v)=lambda^2 v$

e per induzione $A^m v=lambda^m v$ per ogni $m>=1$, ma questo significa esattamente che $v$ è un autovettore di $A^m$ relativo all'autovalore $lambda^m$.

Per quanto riguarda il punto (b), una condizione necessaria è che $A$ e $A^m$ abbiano gli stessi autovalori, cioè (usando il punto precedente) che l'elevamento alla $m-$esima potenza permuti gli autovalori di $A$ (conservando anche le molteplicità). Ti accorgerai che questo può succedere solo in un caso particolare...


Grazie, almeno ho una base su cui partire.. Il mio libro non accennava proprio alla definizione di autovalore come l'hai intesa tu, ma su internet si trova subito questa definizione..

L'unica cosa che non ho capito è come deduco che le due matrici hanno lo stesso polinomio caratteristico..
Blaze
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Re: Quesito sulle matrici, non so come procedere!

Messaggioda gugo82 » 10/09/2019, 22:07

@ Blaze: Tanto per curiosità, qual è la definizione di autovalore proposta dal testo?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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