Linee particolari di una superficie di rivoluzione

Messaggioda marco.ve » 08/09/2019, 22:43

Ciao a tutti, potreste dirmi se è corretto il mio svolgimento? Sono incerto soprattutto sull'ultimo punto.

Si consideri la superficie S parametrizzata da $\sigma(u,v)=(ch(u)cos(v),ch(u)sin(v),u)$ ($ch=cosh$). Determinare le linee asintotiche, le linee di curvatura e le curve su S che formano un angolo costante con le linee di curvatura.

La prima forma fondamentale è $e=g=ch(u)^2, f=0$ e la seconda forma fondamentale è $l=-1, m=0, n=1$.

Le linee asintotiche sono date da $l\dot{u}^2+2m\dot{u}\dot{v}+g\dot{v}^2=0$, cioè $-\dot{u}^2+\dot{v}^2=0$. Si trova quindi $\dot{u}=\pm\dot{v}$ da cui $u=\pm v+k$, con $k\in \mathbb{R}$ costante, e infine si hanno le curve $v \to \sigma(\pm v + k, v)$.

Le linee di curvatura sono caratterizzate da $\dot{u}\dot{v}=0$ e quindi sono tutte e sole le linee coordinate.

Una curva $c: t \to \sigma(u(t), v(t))$ su S forma un angolo costante $\theta$ con i meridiani, e quindi un angolo $\pi/2-\theta$ con i paralleli sse $$ \cos(\theta) =\frac{ \dot{c} \cdot \sigma_u \dot{u}}{|\dot{c}|| \sigma_u \dot{u}|}$$ e $$\sin(\theta)=\frac{ \dot{c} \cdot \sigma_v \dot{v}}{|\dot{c}|| \sigma_v \dot{v}|}$$ nell'intervallo in cui è definita la curva.
Se $\theta = \pi/2$ allora si hanno i paralleli, altrimenti supponendo $\cos(\theta)\ne 0$ si ottiene (dividendo membro a membro e sfruttando $\dot{c}=\dot{u}\sigma_u+\dot{v}\sigma_v$): $$\tan(\theta)=|{\frac{\dot{v}}{\dot{u}}}|$$ da cui $$v =\pm \tan(\theta)\cdot u + k$$
Quindi si hanno le curve $u \to \sigma(u, \pm \tan(\theta)\cdot u+k)$ e $v \to \sigma(u_0, v)$ con $u_0$ fissato.
marco.ve
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