Matematicamente.it

C'è qualcosa che non capisco, guardavo il gruppo unitario U(1)
https://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_dei_gruppi_di_Lie

Loro scrivono che il \(\displaystyle U(1) \) è connesso, non semplicemente connesso, compatto, mentre \(\displaystyle SU(2) \) è semplicemente connesso, compatto, per \(\displaystyle n > 2 \): semplice e semisemplice

Quello che non capisco:

1. come fa un gruppo connesso a non essere semplicemente connesso? L'unica è che il gruppo fondamentale del gruppo connesso non è il gruppo banale. Ma quando questo?

2. quindi il gruppo unitario speciale \(\displaystyle SU(2) \) è invece semplicemente connesso e quindi connesso ? Perchè non lo hanno scritto ?

3. Che vuol dire "questo non è un gruppo dell'algebra complessa di Lie?"

Guarda che \(\displaystyle U(1)\) non è altri che \(\displaystyle\mathbb{S}^1\)...

E!

La semplice connessione implica la \(\displaystyle1\)-connessione, ovvero la connessione per cammini, e quindi l'usuale connessione¹.

Infine, non ho capìto cosa volesse scrivere l'autore di quella frase priva di senso!

---

Scusa ma con $1$-connessione non si intende la semplice connessione?

No, leggiti cosa vuol dire semplicemente connessa nel manuale di topologia algebrica o su wikipedia. Il fatto che lo spazio topologico sia connesso implica soltanto che tutti i punti dello spazio hanno lo stesso gruppo fondamentale.

Ok, lo spazio semplicemente connesso implica che lo spazio sia connesso, ma non è vero il contrario, se è connesso non vuol dire che sia per forza semplicemente connesso.
Ad esempio \(\displaystyle\mathbb{S}^1 \) indica una circonferenza, io so che è uno spazio connesso, ma non semplicemente connesso, ad esempio la superficie della sfera è semplicemente connessa.

uno spazio topologico semplicemente connesso se comunque presi due punti esiste un'omotopia tra i due archi considerati

Evidentemente non è possibile applicare la definizione di semplicemente connesso per una circonferenza, mentre per una sfera questa definizione è compatibile.

Mi sfugge cosa tu intenda con applicare la definizione, quello che succede è che sai che:

1. La circonferenza ha gruppo fondamentale non banale;
2. Che per ogni arco sulla circonferenza, né esistono infiniti che non né sono omotopi.

Quindi è evidente che, in base alla definizione, non può essere semplicemente connesso.