Esercizio forme quadratiche e vettori isotropi
Inviato: 11/09/2019, 15:16
Salve.Speravo gentilmente che qualcuno mi potesse chiarire questo esercizio in vista di un'esame di geometria nei prossimi giorni.Ecco il testo con la risoluzione fornita.
Determinare il sottoinsieme H degli (α, β) ∈ R^2 per cui la forma quadratica :
$αx^2 + 2βxy + y^2$
ha vettori isotropi, e dire se H ́e un sottospazio vettoriale o affine di R^2.
Soluzione:
Si ha $αx^2 + 2βxy + y^2 = αx^2 − β^2x^2 + β^2x^2 + 2βxy + y^2 = (α − β^2)x^2 + (βx + y)^2$.
Per cui se $β^2 ≥ α$ si hanno vettori isotropi, altrimenti no.
Ovvero si ha che il determinante della matrice associata ́e ≤ 0 se e solo se si hanno vettori isotropi.
Chiaramente H non ́e un sottospazio affine di R^2.
Con tutta sincerità non capisco senso e passaggi della risoluzione.
Grazie in anticipo.
Determinare il sottoinsieme H degli (α, β) ∈ R^2 per cui la forma quadratica :
$αx^2 + 2βxy + y^2$
ha vettori isotropi, e dire se H ́e un sottospazio vettoriale o affine di R^2.
Soluzione:
Si ha $αx^2 + 2βxy + y^2 = αx^2 − β^2x^2 + β^2x^2 + 2βxy + y^2 = (α − β^2)x^2 + (βx + y)^2$.
Per cui se $β^2 ≥ α$ si hanno vettori isotropi, altrimenti no.
Ovvero si ha che il determinante della matrice associata ́e ≤ 0 se e solo se si hanno vettori isotropi.
Chiaramente H non ́e un sottospazio affine di R^2.
Con tutta sincerità non capisco senso e passaggi della risoluzione.
Grazie in anticipo.