Rotazione in un sottospazio di R^4

Messaggioda ART120 » 11/09/2019, 19:44

In R^4 con il prodotto euclideo standard e con coordinate (x, y, z, t), sia U ⊂ R4 il sottospazio vettoriale di equazione cartesiana $ x+y+z=0$ . Sia $ g:U->U $ la rotazione di $ π/3 $ intorno all’ asse $L = ((1, −1, 0, 0)) ⊂ U$. Determinare una base ortonormale $ B $ di $U$ tale che la matrice di $g$ rispetto a $B$ sia $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1/2 , sqrt(3)/2 ),( 0 , -sqrt(3)/2 , 1/2 ) ) $.

Perdonate la banalità del problema, probabilmente mi sto incartando senza motivo.
L'idea è di trovare tre vettori ortonormali (e fin qui lo so fare) tali che il terzo sia il prodotto vettoriale tra il primo e il secondo (sono abbastanza sicuro di questa strada poiché ho scritto così negli appunti). Il problema è: so di poter fare il prodotto vettoriale tra vettori di spazi di dimensione 3 ($U$ in questo caso) ma non so come calcolarlo a livello pratico.
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Re: Rotazione in un sottospazio di R^4

Messaggioda Bokonon » 12/09/2019, 23:19

Ciao ART120, benvenuto
U è un sottospazio vettoriale di $R^4$ pertanto una sua base ha vettori di 4 componenti.
Il problema di per se non richiede manco calcoli...per come lo vedo io è più concettuale.
Una qualsiasi base ortonormale di U che includa il vettore L normalizzato va benissimo.
Concettualmente parlando, il sottospazio U può essere visualizzato in uno spazio tridimensionale e la matrice G è una rotazione $-pi/3$ attorno all'asse X (è una rotazione oraria).
Nel nostro spazio U, l'asse X è L. Basta aggiungere altri due vettori appartenenti ad U e ortogonali a L e possiamo considerarli indifferentemente come assi YZ.
Il problema però chiede una rotazione antioraria (se non è specificato altrimenti $+pi/3$ è inteso sempre in senso antiorario) pertanto l'asse "X" da considerare ha verso -L.

Una base ortonormale (ordinata) di B è quindi $ B={( ( -1/sqrt(2) ),( 1/sqrt(2) ),( 0 ),( 0 ) ), ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ), ( ( 1/sqrt(6) ),( 1/sqrt(6) ),( -2/sqrt(6) ),( 0 ) )} $
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Re: Rotazione in un sottospazio di R^4

Messaggioda ART120 » 13/09/2019, 22:58

Tutto chiaro, grazie mille!
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