Rotazione in un sottospazio di R^4

Messaggioda ART120 » 11/09/2019, 18:44

In R^4 con il prodotto euclideo standard e con coordinate (x, y, z, t), sia U ⊂ R4 il sottospazio vettoriale di equazione cartesiana $ x+y+z=0$ . Sia $ g:U->U $ la rotazione di $ π/3 $ intorno all’ asse $L = ((1, −1, 0, 0)) ⊂ U$. Determinare una base ortonormale $ B $ di $U$ tale che la matrice di $g$ rispetto a $B$ sia $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1/2 , sqrt(3)/2 ),( 0 , -sqrt(3)/2 , 1/2 ) ) $.

Perdonate la banalità del problema, probabilmente mi sto incartando senza motivo.
L'idea è di trovare tre vettori ortonormali (e fin qui lo so fare) tali che il terzo sia il prodotto vettoriale tra il primo e il secondo (sono abbastanza sicuro di questa strada poiché ho scritto così negli appunti). Il problema è: so di poter fare il prodotto vettoriale tra vettori di spazi di dimensione 3 ($U$ in questo caso) ma non so come calcolarlo a livello pratico.
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Re: Rotazione in un sottospazio di R^4

Messaggioda Bokonon » 12/09/2019, 22:19

Ciao ART120, benvenuto
U è un sottospazio vettoriale di $R^4$ pertanto una sua base ha vettori di 4 componenti.
Il problema di per se non richiede manco calcoli...per come lo vedo io è più concettuale.
Una qualsiasi base ortonormale di U che includa il vettore L normalizzato va benissimo.
Concettualmente parlando, il sottospazio U può essere visualizzato in uno spazio tridimensionale e la matrice G è una rotazione $-pi/3$ attorno all'asse X (è una rotazione oraria).
Nel nostro spazio U, l'asse X è L. Basta aggiungere altri due vettori appartenenti ad U e ortogonali a L e possiamo considerarli indifferentemente come assi YZ.
Il problema però chiede una rotazione antioraria (se non è specificato altrimenti $+pi/3$ è inteso sempre in senso antiorario) pertanto l'asse "X" da considerare ha verso -L.

Una base ortonormale (ordinata) di B è quindi $ B={( ( -1/sqrt(2) ),( 1/sqrt(2) ),( 0 ),( 0 ) ), ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ), ( ( 1/sqrt(6) ),( 1/sqrt(6) ),( -2/sqrt(6) ),( 0 ) )} $
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Re: Rotazione in un sottospazio di R^4

Messaggioda ART120 » 13/09/2019, 21:58

Tutto chiaro, grazie mille!
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Re: Rotazione in un sottospazio di R^4

Messaggioda Samy21 » 29/10/2019, 11:21

Scusatemi se scrivo su un vecchio post ma sto svolgendo lo stesso esercizio, cioè
ART120 ha scritto:In R^4 con il prodotto euclideo standard e con coordinate (x, y, z, t), sia U ⊂ R4 il sottospazio vettoriale di equazione cartesiana $ x+y+z=0$ . Sia $ g:U->U $ la rotazione di $ π/3 $ intorno all’ asse $L = ((1, −1, 0, 0)) ⊂ U$. Determinare una base ortonormale $ B $ di $U$ tale che la matrice di $g$ rispetto a $B$ sia $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1/2 , sqrt(3)/2 ),( 0 , -sqrt(3)/2 , 1/2 ) ) $.

ma cambia la matrice che nel mio caso è $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1/2 ,- sqrt(3)/2 ),( 0 , sqrt(3)/2 , 1/2 ) ) $
e questo cambio nei segni significa che la rotazione è in senso antiorario.
Questo significa che devo cercare una rotazione in senso orario?

Bokonon ha scritto:Una base ortonormale (ordinata) di B è quindi $ B={( ( -1/sqrt(2) ),( 1/sqrt(2) ),( 0 ),( 0 ) ), ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ), ( ( 1/sqrt(6) ),( 1/sqrt(6) ),( -2/sqrt(6) ),( 0 ) )} $

Non capisco come hai trovato l'ultima colonna. La prima dovrebbe essere il vettore che genera L normalizzato. Il secondo è il vettore ottenuto considerando solo t=1 ma il terzo non riesco a coglierlo.

Grazie!
Samy21
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Re: Rotazione in un sottospazio di R^4

Messaggioda Bokonon » 29/10/2019, 11:52

Samy21 ha scritto:Questo significa che devo cercare una rotazione in senso orario?

Si.
Però stai mettendo troppa carne al fuoco.
Completiamo prima il thread su proiezioni e riflessioni e dedicaci un po' di tempo in modo da fissare le idee e creare le connessioni.
Poi parliamo di rotazioni.
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Re: Rotazione in un sottospazio di R^4

Messaggioda Samy21 » 06/11/2019, 18:09

Bokonon ha scritto:Completiamo prima il thread su proiezioni e riflessioni e dedicaci un po' di tempo in modo da fissare le idee e creare le connessioni.

Ho provato a svolgere questo esercizio dopo aver seguito il tuo consiglio.
Dato l'asse di rotazione pari a $L=(-1,1,0,0)$ calcolo a partire da questo vettore gli ortogonali che fungeranno da assi y e z dato che, guardando la matrice data nel problema, sembra che la rotazione avvenga lungo l'asse x. Ottengo $(1,1,-2,0)$ e $(0,0,0,1)$ e, dividendo per le rispettive norme, ottengo che la base ortonormale richiesta dall'esercizio è
$B={(1/sqrt2,-1/sqrt2,0,0),(1/sqrt6,1/sqrt6,-2/sqrt6,0),(0,0,0,1)}$
E' corretta?

Grazie per l'aiuto.
Samy21
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Re: Rotazione in un sottospazio di R^4

Messaggioda Bokonon » 06/11/2019, 22:28

Si è corretta
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