Vettori complessi ortogonali. Proprietà

Messaggioda fedeing. » 12/09/2019, 00:40

Ciao. Necessiterei del vostro aiuto nel capire questo concetto (forse un teorema) sull'ortogonalità fra due vettori complessi.
L'esercizio è il seguente:
Trovare tutti i vettori di $ C^2 $ unitari ed ortogonali a $ ( ( 2-i ),( 1+i ) ) $.
Ora, io ho cercato di risolvere il problema sfruttando le condizioni algebriche sul fatto che i vettori cercati devono avere modulo 1 e devono essere ortogonali a quel vettore dato, cioè fatto il prodotto scalare con il coniugato del vettore dato il risultato è zero:
$ ( ( a+ib ),( c+id ) ) $ : vettore generico , $ sqrt(a^2+b^2+c^2+d^2) = 1 $ e $ (a+ib)(2+i)+(c+id)(1-i)=0 $
dalla quale ottengo: $ 2a-b+c+d=0 $ : parte reale del numero complesso ottenuto dal prodotto scalare nulla e $ a+2b-c+d=0 $ : parte immaginaria nulla. I vettori saranno infiniti.
Sfruttando le 3 condizioni io ho trovato questa equazione: $ 35a^2+14d^2+42ad-1=0 $ che espressa per a ad esempio ammette due soluzioni irrazionali in funzione di d con $ -sqrt(5/7) <= d <= sqrt(5/7) $ , le quali mi creano un bel problema nell'esprimere anche c e b in funzione di d.
Io adesso vorrei sapere se questo tipo di risoluzione va scartata o se esiste un modo per uscirne senza "morire" fra i calcoli. Ho pensato a qualche proprietà del prodotto scalare o del prodotto scalare Hermitiano, ma non sono riuscito a trovare niente; anche perchè sbirciando le soluzioni ho trovato il risultato espresso in forma esponenziale : $ e^(i vartheta )/ sqrt(7) ( ( 1-i ),( -2-i ) ) $ di cui non riesco a capirne il motivo, tranne per il fatto che rappresenta un'infinità di vettori al variare di $ vartheta $ . Mi aiutate a capire di quale proprietà o teorema ho bisogno di sapere per risolvere questo esercizio? Grazie
fedeing.
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Re: Vettori complessi ortogonali. Proprietà

Messaggioda marco.ve » 12/09/2019, 15:45

Io farei così: $(z_1, z_2)^T$ con $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ è ortogonale a $(2-i, 1+i)^T$ sse $z_1(2+i)+z_2(1-i)=0$, le soluzioni sono date da $(-1+i, 2+i)^T\cdot \lambda$ al variare di $\lambda \in \mathbb{C}$. Ora devi trovare per quali $\lambda$ quel vettore è unitario.
marco.ve
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Re: Vettori complessi ortogonali. Proprietà

Messaggioda fedeing. » 12/09/2019, 16:48

Grazie. Secondo te/voi una proprietà del genere:
preso $ v=( ( z_1 ),( z_2) ) $ e $ w= ( ( bar(z_2) ),( -bar((z_1)) ) ) $ (il suo coniugato con coordinate scambiate ed una cambiata di segno) tale che il prodotto scalare : $ (z_1)(bar(bar(z_2)))+(z_2)(bar(bar(-z_1)) ) = z_1 z_2 - z_2 z_1 = 0 $ mi è sempre valida per avere una condizione di ortogonalità fra due vettori complessi?
fedeing.
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Re: Vettori complessi ortogonali. Proprietà

Messaggioda marco.ve » 12/09/2019, 20:43

$(z_1, z_2)^T$ è ortogonale a $(\bar{z_2}, -\bar{z_1})^T$ sse il loro prodotto scalare è nullo; tu hai verificato che lo è e quindi sono ortogonali comunque vengano presi $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$.
marco.ve
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Re: Vettori complessi ortogonali. Proprietà

Messaggioda fedeing. » 26/09/2019, 17:18

Mitico. Grazie mille
fedeing.
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