Unione disgiunta, Manetti, esempio 3.10
Inviato: 12/09/2019, 22:14
Ciao. Sia \( \left\{X_i:i\in I\right\} \) una famiglia di spazi. Sia \( X=\coprod_{i\in I}X \) la loro unione disgiunta insiemistica, che intendo come \( X=\coprod_{i\in I}X=\left\{(x,i):\text{$ x\in X_i $ e $ i\in I $}\right\} \).
Manetti - prima di introdurre le funzioni continue - definisce lo spazio unione disgiunta degli \( X_i \) come la coppia \( \left(X,\tau\right) \), dove, verbatim, \( \tau \) è "la topologia meno fine tra quelle che contengono tutte le topologie degli spazi \( X_i \)".
Questa definizione non mi quadra. Ossia, la topologia \( \tau \) su \( X \) così definita è l'intersezione di tutte le topologie \( \rho_j \) (facciamo, indicizzate da un insieme \( J \)) su \( X \) contenenti, ciascuna, tutte le topologie degli spazi \( X_i \). Ogni \( \rho_i \) - di fatto, sottoinsieme di \( \operatorname{P}X \) - contiene tutte le topologie possibili su ogni \( X_i \) - namely, sottoinsiemi di \( \operatorname{P}X_i \).
Come può una topologia di un \( X_i \) - insieme "1-dimensionale" - essere contenuta in una topologia di \( X=\coprod_{i\in I}X \) - di fatto, insieme di coppie -? (In modo informale riesco più o meno ad immaginarmelo, ma mi piacerebbe avere delle conferme )
Manetti - prima di introdurre le funzioni continue - definisce lo spazio unione disgiunta degli \( X_i \) come la coppia \( \left(X,\tau\right) \), dove, verbatim, \( \tau \) è "la topologia meno fine tra quelle che contengono tutte le topologie degli spazi \( X_i \)".
Questa definizione non mi quadra. Ossia, la topologia \( \tau \) su \( X \) così definita è l'intersezione di tutte le topologie \( \rho_j \) (facciamo, indicizzate da un insieme \( J \)) su \( X \) contenenti, ciascuna, tutte le topologie degli spazi \( X_i \). Ogni \( \rho_i \) - di fatto, sottoinsieme di \( \operatorname{P}X \) - contiene tutte le topologie possibili su ogni \( X_i \) - namely, sottoinsiemi di \( \operatorname{P}X_i \).
Come può una topologia di un \( X_i \) - insieme "1-dimensionale" - essere contenuta in una topologia di \( X=\coprod_{i\in I}X \) - di fatto, insieme di coppie -? (In modo informale riesco più o meno ad immaginarmelo, ma mi piacerebbe avere delle conferme )