Endomorfismo diagonalizzabile con parametro

[Rebb10]

Ciao ho questo esercizio che mi sta dando problemi...
Per ogni $k in RR$ sia $T_k: RR^4 ->RR^4$ l'endomorfismo dato da
$T_k(x)= ((3a +b+2c+kd),(-ka+b-kc+kd),(3c+8d),(2c+3d))$
per quali valori d $k$ l'endomorfismo $T_k$ è diagonalizzabile. Si scrive la matrice A associata all'endomorfismo $T_0$ nella base canonica e si dica se $A$ è simile alla matrice
$B=((-9,4,0,0),(-24,11,0,0),(2, (pi)^2,5,2),((pi),-6,4,3))$.

Io ho provato a calcolare il polinomio caratteristico di $T_k(x)$ rispetto alla seconda colonna ma non capisco dove sbaglio: il polinomio mi viene $9(3-\lambda)-16(3-\lambda)-7k$

Grazie!!

[Bokonon]

Trovare un polinomio di grado 1 lavorando con le matrici (e di solito si parte minimo da matrici 2x2) dovrebbe come minimo insospettirti.

Il polinomio di quarto grado che devi trovare è $(lambda-7)(lambda+1)(lambda^2-4lambda+k+3)$
Ricalcola il determinante.

[Rebb10]

Si infatti... Potresti spiegarmi i passaggi per favore? Innanzitutto scrivo la matrice
$ T_k(x)= ((3-\lambda,1,2,k),(-k,1-\lambda,-k,k),(0,0,3-\lambda,8),(0,0,2,3-\lambda)) $
ed io ho applicato Laplace rispetto all'ultima riga ma non capisco dove sbaglio

[Bokonon]

$det(A-lambdaI)=2| ( 3-lambda , 1 , k ),( -k , 1-lambda , k ),( 0 , 0 , 8 ) |-(3-lambda)| ( 3-lambda , 1 , 2 ),( -k , 1-lambda , -k ),( 0 , 0 , 3-lambda ) |=$
$=16[(3-lambda)(1-lambda)+k]-(3-lambda)^2[(3-lambda)(1-lambda)+k]=$
$=[(3-lambda)(1-lambda)+k][16-(3-lambda)^2]=0$

Da qua dovresti essere in grado di ricondurti al polinomio caratteristico che ho scritto sopra

[Rebb10]

grazie mille!!