\( \newcommand{\pow}[1]{\operatorname P#1} \)
otta96 ha scritto:$ M(k) $ è la retroimmagine dell'aperto $ (k, +\infty) $, $ m(k) $di $ (-\infty, k) $ (per inciso hai scritto male $ m(k) $ all'inizio).
@otta96
otta96 ha scritto:Per l'altro verso dimostra che la famiglia di quegli aperti (quelli di cui fai le retroimmagini) sono una prebase (sottobase) e dimostra quel fatto per una generica prebase (sottobase).
Ok. Mi scrivo due cose tanto per farmi chiarezza. (Grazie per avermi segnalato le prebasi: questo concetto mi sarà utile anche per un altro esercizio).
Dato un insieme \( X \), sia \( \mathcal{B} \) una famiglia di suoi sottoinsiemi. L'applicazione \( \langle{-}\rangle\colon\pow\pow X\to\pow\pow X \) data come \( \mathcal B\mapsto\bigcap\mathscr T_{\mathcal B} \), dove \( \mathscr T_{\mathcal B} \) è la collezione di tutte le topologie su \( X \) contenenti \( \mathcal B \), è una
chiusura. Rispetta, infatti, evidentemente l'ordine; vale \( \mathcal B\subset\langle B\rangle \); ed è inoltre idempotente (sono troppo pigro per provarlo… spero sia vero). Allora posso a buon diritto chiamare
topologia generata da \( \mathcal B \) l'immagine \( \langle\mathcal B\rangle \).
Definizione. Una
prebase di uno spazio topologico \( \left(X,\tau\right) \) è una famiglia di parti di \( X \) che ne generi la topologia.
Proposizione. Una famiglia di aperti di uno spazio topologico \( \left(X,\tau\right) \) è una prebase di \( X \) se e solo se la famiglia delle intersezioni finite di elementi di \( \mathcal B \) è una base dello spazio.
(La proverò a dimostrare in un altro thread).
Posso dunque dimostrare che:
Proposizione. Sia \( f\colon X\to Y \) una funzione tra spazi topologici, e sia \( \mathcal B_Y \) una prebase di \( Y \). Se le retroimmagini di \( f \) sugli aperti di \( \mathcal B_Y \) sono aperte, la funzione \( f \) è continua.
Dimostrazione. Sia \( A \) un aperto di \( Y \). Per la proposizione precedente, esso si scrive come unione di intersezioni finite di elementi di \( \mathcal B_Y \): ossia, sarà \( A=\bigcup_{i\in I}A_i \), dove ciascun \( A_i \) è l'intersezione \( \bigcap_{j=m_i}^{n_i} \) di un numero finito di elementi della prebase. Sarà dunque
\[
\textstyle f^*\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\bigcup_{i\in I}\bigcap_{j=m_i}^{n_i}f^*A_i
\] dato che la controimmagine si comporta bene riguardo a queste cose. \( \square \)
Veniamo all'esercizio. Come mi hai rivelato, gli \( M(k) \) e \( m(k) \) sono esattamente le immagini di insiemi del tipo \( \left]-\infty,k\right[ \) e \( \left]k,+\infty\right[ \). Allora, mi sembra sensato provare che
Proposizione. Gli \( \left]-\infty,k\right[ \) e \( \left]k,+\infty\right[ \) sono una prebase di \( \mathbb R \) con la topologia euclidea.
Dimostrazione. Sia \( \tau^\prime \) una topologia sui reali contenente la famiglia \( \mathcal B \) di quegli intervalli. Allora dico che \( \tau\subset\tau^\prime \), i.e., che la topologia euclidea è la generata da \( \mathcal B \). Sia infatti \( A \) un aperto del campo reale con topologia euclidea (che è quella generata dagli intervalli aperti limitati): si vede immediatamente che \( A\subset\tau^\prime \), dato che ogni intervallo della forma \( \left]a,b\right[ \), con \( a<b \) reali, sarà sicuramente dato dall'intersezione di due soli elementi della prebase. \( \square \)
Questo dovrebbe concludere l'esercizio.
@dissonance
Se gli \( M(k) \) e \( m(k) \) sono aperti allora, dati due \( k<h \) reali, l'insieme \( A_{k,h} \) sarà un'intersezione di aperti. Al contrario, dire che gli insiemi della forma \( A_{k,h} \) siano tutti aperti implica affermare che, fai, l'unione
\[
\textstyle\bigcup_{h>k}A_{k,h}=\left\{x\in\mathbb{R}:\text{$ k<f(x)<h$ per ogni $ h\in\mathbb{R} $ maggiore di $ k $}\right\} = M(k)
\] lo sia.
Ora, ogni \( A_{k,h} \) è preimmagine di un intervallo aperto \( f^*\left]k,h\right[ \). Il fatto che le immagini inverse sugli elementi di una base di uno spazio siano aperti implica che la suddetta funzione sia continua, senza parlare di sottobasi. Perché dici che è la stessa cosa di quello che ha detto @otta96?
In ogni caso, grazie molte ad entrambi. Sono sicuro di aver fatto un po' di casino, ma comunque la cosa mi è stata utile.