Una funzione \( \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) è continua se e solo se \( M(k) \) e \( m(k) \) sono aperti

Messaggioda marco2132k » 17/09/2019, 17:56

Ciao! Sia \( f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) una funzione tra spazi reali con la topologia standard. Voglio provare che \( f \) è continua se e solo se gli insiemi
\[
\begin{align*}
M(k)&=\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)>k\right\}\\
m(k)&=\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)<k\right\}\\
\end{align*}
\] sono aperti per ogni \( k\in\mathbb{R} \).

Dimostrazione diretta. L'idea è far ovviamente vedere che \( M(k) \) e \( m(k) \) sono intorni di ogni loro punto. Noto che per costruzione è \( f^{*}\left\{f(x)>k\right\}=M(k) \). Sia quindi \( x\in M(k) \): allora, esiste un intorno di \( f(x)>k \), dato da \( \left]f(x)-\epsilon,+\infty\right[ \), per un qualche \( \epsilon \), contenuto in \( \left\{f(x)>k\right\} \). Questo vuol dire che
\[
f^{*}\left]f(x)-\epsilon,+\infty\right[\subset f^{*}\left\{f(x)>k\right\}=M(k)
\] dove la continuità dà la tesi. \( \square \)

Ora ho allenamento, quindi non ho tempo di fare l'inversa, perché a primo acchito non mi viene. Vi chiedo qualche suggerimento :-D
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Re: Una funzione \( \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) è continua se e solo se \( M(k) \) e \( m(k) \) sono aperti

Messaggioda otta96 » 17/09/2019, 18:06

Ma che se è continua allora quegli insiemi siano aperti è ovvio, sono retroimmagini di aperti.
Per l'altro verso dimostra che la famiglia di quegli aperti (quelli di cui fai le retroimmagini) sono una prebase (sottobase) e dimostra quel fatto per una generica prebase (sottobase).
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Re: Una funzione \( \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) è continua se e solo se \( M(k) \) e \( m(k) \) sono aperti

Messaggioda marco2132k » 18/09/2019, 09:03

Ciao. Sarà perché ho tipo tre ore di sonno addosso, ma.. perché gli M(k) sono controimmagini di aperti? Tieni presente che non posso usare i risultati classici sulla compattezza e connessione (perché idealmente il libro deve ancora farli).

Grazie per l’inversa, appena ho cinque minuti provo a farla!
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Re: Una funzione \( \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) è continua se e solo se \( M(k) \) e \( m(k) \) sono aperti

Messaggioda otta96 » 18/09/2019, 11:21

$M(k)$ è la retroimmagine dell'aperto $(k, +\infty)$, $m(k)$di $(-\infty, k)$ (per inciso hai scritto male $m(k)$ all'inizio).
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Re: Una funzione \( \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) è continua se e solo se \( M(k) \) e \( m(k) \) sono aperti

Messaggioda dissonance » 18/09/2019, 11:59

Puoi anche osservare che quegli insiemi sono aperti se e solo se
\[
A_{k, h}:=\{x\in\mathbb R\ :\ k<f(x)<h\}
\]
sono aperti per ogni \(k<h\) (da dimostrare, ma non è molto difficile). Siccome \(A_{k, h}=f^{-1}(k, h)\), etc, etc...

In effetti è la stessa cosa che propone otta, ma senza parlare esplicitamente di sottobase.
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Re: Una funzione \( \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) è continua se e solo se \( M(k) \) e \( m(k) \) sono aperti

Messaggioda marco2132k » 21/09/2019, 17:50

\( \newcommand{\pow}[1]{\operatorname P#1} \)
otta96 ha scritto:$ M(k) $ è la retroimmagine dell'aperto $ (k, +\infty) $, $ m(k) $di $ (-\infty, k) $ (per inciso hai scritto male $ m(k) $ all'inizio).
:shock:

@otta96
otta96 ha scritto:Per l'altro verso dimostra che la famiglia di quegli aperti (quelli di cui fai le retroimmagini) sono una prebase (sottobase) e dimostra quel fatto per una generica prebase (sottobase).
Ok. Mi scrivo due cose tanto per farmi chiarezza. (Grazie per avermi segnalato le prebasi: questo concetto mi sarà utile anche per un altro esercizio).

Dato un insieme \( X \), sia \( \mathcal{B} \) una famiglia di suoi sottoinsiemi. L'applicazione \( \langle{-}\rangle\colon\pow\pow X\to\pow\pow X \) data come \( \mathcal B\mapsto\bigcap\mathscr T_{\mathcal B} \), dove \( \mathscr T_{\mathcal B} \) è la collezione di tutte le topologie su \( X \) contenenti \( \mathcal B \), è una chiusura. Rispetta, infatti, evidentemente l'ordine; vale \( \mathcal B\subset\langle B\rangle \); ed è inoltre idempotente (sono troppo pigro per provarlo… spero sia vero). Allora posso a buon diritto chiamare topologia generata da \( \mathcal B \) l'immagine \( \langle\mathcal B\rangle \).

Definizione. Una prebase di uno spazio topologico \( \left(X,\tau\right) \) è una famiglia di parti di \( X \) che ne generi la topologia.

Proposizione. Una famiglia di aperti di uno spazio topologico \( \left(X,\tau\right) \) è una prebase di \( X \) se e solo se la famiglia delle intersezioni finite di elementi di \( \mathcal B \) è una base dello spazio.
(La proverò a dimostrare in un altro thread).

Posso dunque dimostrare che:
Proposizione. Sia \( f\colon X\to Y \) una funzione tra spazi topologici, e sia \( \mathcal B_Y \) una prebase di \( Y \). Se le retroimmagini di \( f \) sugli aperti di \( \mathcal B_Y \) sono aperte, la funzione \( f \) è continua.
Dimostrazione. Sia \( A \) un aperto di \( Y \). Per la proposizione precedente, esso si scrive come unione di intersezioni finite di elementi di \( \mathcal B_Y \): ossia, sarà \( A=\bigcup_{i\in I}A_i \), dove ciascun \( A_i \) è l'intersezione \( \bigcap_{j=m_i}^{n_i} \) di un numero finito di elementi della prebase. Sarà dunque
\[
\textstyle f^*\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\bigcup_{i\in I}\bigcap_{j=m_i}^{n_i}f^*A_i
\] dato che la controimmagine si comporta bene riguardo a queste cose. \( \square \)

Veniamo all'esercizio. Come mi hai rivelato, gli \( M(k) \) e \( m(k) \) sono esattamente le immagini di insiemi del tipo \( \left]-\infty,k\right[ \) e \( \left]k,+\infty\right[ \). Allora, mi sembra sensato provare che
Proposizione. Gli \( \left]-\infty,k\right[ \) e \( \left]k,+\infty\right[ \) sono una prebase di \( \mathbb R \) con la topologia euclidea.
Dimostrazione. Sia \( \tau^\prime \) una topologia sui reali contenente la famiglia \( \mathcal B \) di quegli intervalli. Allora dico che \( \tau\subset\tau^\prime \), i.e., che la topologia euclidea è la generata da \( \mathcal B \). Sia infatti \( A \) un aperto del campo reale con topologia euclidea (che è quella generata dagli intervalli aperti limitati): si vede immediatamente che \( A\subset\tau^\prime \), dato che ogni intervallo della forma \( \left]a,b\right[ \), con \( a<b \) reali, sarà sicuramente dato dall'intersezione di due soli elementi della prebase. \( \square \)

Questo dovrebbe concludere l'esercizio.

@dissonance
Se gli \( M(k) \) e \( m(k) \) sono aperti allora, dati due \( k<h \) reali, l'insieme \( A_{k,h} \) sarà un'intersezione di aperti. Al contrario, dire che gli insiemi della forma \( A_{k,h} \) siano tutti aperti implica affermare che, fai, l'unione
\[
\textstyle\bigcup_{h>k}A_{k,h}=\left\{x\in\mathbb{R}:\text{$ k<f(x)<h$ per ogni $ h\in\mathbb{R} $ maggiore di $ k $}\right\} = M(k)
\] lo sia.

Ora, ogni \( A_{k,h} \) è preimmagine di un intervallo aperto \( f^*\left]k,h\right[ \). Il fatto che le immagini inverse sugli elementi di una base di uno spazio siano aperti implica che la suddetta funzione sia continua, senza parlare di sottobasi. Perché dici che è la stessa cosa di quello che ha detto @otta96?

In ogni caso, grazie molte ad entrambi. Sono sicuro di aver fatto un po' di casino, ma comunque la cosa mi è stata utile.
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Re: Una funzione \( \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) è continua se e solo se \( M(k) \) e \( m(k) \) sono aperti

Messaggioda dissonance » 21/09/2019, 18:04

Esatto. Dico che è la stessa cosa, perché quel discorso che hai fatto è esattamente l'argomento che si usa per dimostrare che \(f\) è continua se e solo se \(f^{-1}(B)\) è aperto per ogni \(B\) in una sottobase.
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