In particolare mi rivolgo a Martino, e a quanto affermato:
Martino ha scritto: […]
Il più semplice esempio di spazio T0 ma non T1 è questo: \( \displaystyle X=\{1,2\} \) con la topologia \( \displaystyle \tau = \{\emptyset,\ \{1\},\ \{1,2\}\} \) .
Se ti è utile, puoi vederla così:
Assioma di separazione T0: c'è al più un punto denso.
Assioma di separazione T1: i punti sono chiusi.
Perdonatemi l’intromissione in questa discussione, ma non sono sicuro di aver capito bene quanto scritto.
Infatti se l’assioma T0 è equivalente ad affermare che c'è al più un punto denso nello spazio topologico, allora mi sfugge il significato di punto denso.
Stupidamente infatti lo definirei, in modo che ogni chiuso che lo contiene, coincide con l’intero spazio, (sbaglio?) ma se così fosse, possiamo considerare \( \displaystyle N \) equipaggiato con la topologia:
\( \displaystyle \tau = \{\emptyset,\ \{0\},\ \{1\},\ \{0;1\}, N\} \) :
esso direi che non è assolutamente T0, in quanto gli eventi diversi da 0 e 1 non sono separabili. Tuttavia non vedo punti densi - almeno per come ho inteso io tale concetto, infatti:
- per \( \displaystyle 0 \) avrei il chiuso \( \displaystyle N-\{1\} \) ;
- per \( \displaystyle 1 \) avrei il chiuso \( \displaystyle N-\{0\} \) ;
- per ogni altro \( \displaystyle p\neq 0, 1 \) , avrei il chiuso \( \displaystyle N-\{0;1\} \) ;
Di conseguenza mi verrebbe da concludere che ogni elemento non è un punto denso, non coincidendo la sua chiusura con tutto \( \displaystyle N \) , ma nonostante ciò questa topologia non è T0.
Purtroppo in letteratura non ho trovato riferimenti e ve ne sarei estremamente lieto, se mi spiegaste questo mio empasse.
Vi ringrazio.
