Base ortonormale di autovettori di una proiezione ortogonale

Salve a tutti.
Riporto il mio problema:
In R3 dotato del prodotto scalare usuale, si consideri il sottospazio U=span($|5,0,5|$,$|2,1,3|$,$|3,-1,2|$)
Si consideri la proiezione ortogonale "pU" su U come un endomorfismo di R3.
Determinare una base ortonormale di autovettori di "pU".

Presuppongo che generalmente non ho problemi a trovare autovettori ed autovalori quando mi viene data una matrice quadrata qualunque o anche quando devo trovare la proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio(avendo la base di questo sottospazio).
Il problema penso che stia anche sul fatto che non mi capisco molto col sottospazio span.
Chiunque mi possa guidare sullo svolgimento dell'esercizio gliene sarei grato.

Negli spazi a dimensione finita vale la rappresentazione seguente

$p_U:V->V$ con $p_U(v)=sum_(k=1)^(m)(v*u_k)/(norm(u_k)^2)u_k$

Dove $UleqV$, $dimU=m$, $dimV=n$ e $B_U={u_1,...,u_m}$ base ortogonale di $u$. Considera ora $B_(U^(_|_))={w_1,...,w_(n-m)}$ base ortogonale di $U^(_|_)$

È chiaro che $B=B_U cup B_(U^(_|_))$ è una base di $V$ che soddisfa il tuo problema in quanto

1 è ortogonale per costruzione; quindi basta normalizzarla

2 sono autovettori poiché $p_U(u_j)=u_j=1*u_j$ e $p_U(w_k)=vec(0)=0*w_k$

Quindi in sostanza per risolvere il tuo problema devi

1 ortonormalizzare una base di $U$ e impostare $p_U$
2 trovare $U^(_|_)$ e ortonormalizzare una sua base
3 unire le due basi trovare per ottenerne una di $V$

Tale base è una base ortonormale di autovettori di $V$

Una soluzione è $ U={( ( 1/sqrt(2) ),( 0 ),( 1/sqrt(2) ) ) , ( ( -1/sqrt(6) ),( 2/sqrt(6)),( 1/sqrt(6) ) )} $ e $ U^(_|_ )={( ( 1/sqrt(3) ),( 1/sqrt(3)),( -1/sqrt(3) ) )} $
La matrice di proiezione è $ 1/3( ( 2 , 1 , -1 ),( 1 , 2 , -1 ),( -1 , -1 , 2 ) ) $

In effetti questo problema è un trucco. La traccia fa molti giri di parole per chiederti di trovare una base ortonormale di \(U\), questo è tutto. Se ti perdi significa che non hai chiara la teoria.

Ringrazio anticipatamente.
Scusate ma non riesco comunque a capire perché le due soluzioni siano quelle scritte da Bookonom.
Io ortonormalizzando i 3 vettori avevo ottenuto una base ortonormale(che sono gli stessi vettori scritti da Bookonom) . Ma non riesco a capire perché $U^(_|_) $ ed $U$ siano rispettivamente quelle.
Inoltre quale delle due corrisponde al sottospazio di autovalori =0 e quale a quello di autovalore=1?
Lo domando perché il secondo punto Dell es mi chiede di fare $pu(6,1,4)$.
E non capisco perché me lo proietti utilizzando unicamente la base di $U^(_|_) $ ignorando le basi di $U$

Non avevo visto la risposta.

Ma non riesco a capire perché $U^(_|_) $ ed $U$ siano rispettivamente quelle.

Non devono esserlo necessariamente.
O meglio, la direzione perpendicolare DEVE essere quella. Le basi ortogonale del piano invece sono a tua completa scelta...e ce ne sono infinite e vanno tutte benone.

Inoltre quale delle due corrisponde al sottospazio di autovalori =0 e quale a quello di autovalore=1?

I due vettori che sono base del piano hanno autovalore 1.
Il vettore lungo cui si fa la proiezione ha autovalore 0.

Lo domando perché il secondo punto Dell es mi chiede di fare $pu(6,1,4)$.
E non capisco perché me lo proietti utilizzando unicamente la base di $U^(_|_) $ ignorando le basi di $U$

Non si capisce la domanda. Comunque avevo scritto la matrice di proiezione ma non avevo cambiato i segni aldifuori della diagonale.
La matrice corretta di proiezione è $ 1/3( ( 2 , -1 , 1 ),( -1 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ) ) $ usala per proiettare il vettore ma prova anche a derivarla.