Stavo cercando di dimostrare il seguente:
"Sia $f: X -> Y$ tra varietà della stessa dimensione con $X$ compatta e sia $R sube Y$ l'insieme dei valori regolari. Allora $f_(|f^(-1)(R)):f^(-1)(R)->R$ è un rivestimento a finiti fogli"
Inserisco in spoiler un mio "tentativo"
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dato $p in R$ devo cercare di costruire un intorno "ben rivestito". Poiché $p$ è regolare allora per ogni $q in f^(-1)(p), df_p:T_qX->T_pY$ è surgettivo(per definizione), dunque un isomorfismo (stessa dimensione).
Per il teorema di invertibilità locale per varietà, se $f^(-1)(p)={q_i}_(i in I)$, allora per ogni $i in I$ esiste un aperto $W_i$ di $q_i$ in $X$ e un aperto $U_i$ di $p$ in $Y$ con $f_(|W_i):W_i->U_i$ diffeomorfismo; in particolare è iniettiva dunque $W_i nn f^(-1)(p) = {q_i}$, dunque $f^(-1)(p)$ ha la topologia discreta. E' anche chiuso essendo preimmagine di un punto(tramite funzione continua). Essendo $X$ compatto, è compatto e avendo top.discreta ho che $#I<infty$.
Poiché $X$ è T2, posso supporre i $W_i$ disgiunti e pongo $U=(nnU_i) nn f(X-(uuW_i))^(c)$
$U$ dovrebbe essere l'intorno aperto di $p$ cercato; infatti $p in U_i$ per costruzione e $f^(-1)(p) sube uu W_i $, da cui $p in f(X-(uuW_i))^(c)$.
Inoltre è facile vedere che $U$ è aperto(essenziale che $#I<infty$).
Ora vorrei porre $V_i=f^(-1)(U) nn W_i$, ma per concludere come potrei vedere che $f^(-1)(U)$ è unione disgiunta dei $V_i$ e che $f:V_i -> U$ è un diffeo. per ogni $i in I$??
Per il teorema di invertibilità locale per varietà, se $f^(-1)(p)={q_i}_(i in I)$, allora per ogni $i in I$ esiste un aperto $W_i$ di $q_i$ in $X$ e un aperto $U_i$ di $p$ in $Y$ con $f_(|W_i):W_i->U_i$ diffeomorfismo; in particolare è iniettiva dunque $W_i nn f^(-1)(p) = {q_i}$, dunque $f^(-1)(p)$ ha la topologia discreta. E' anche chiuso essendo preimmagine di un punto(tramite funzione continua). Essendo $X$ compatto, è compatto e avendo top.discreta ho che $#I<infty$.
Poiché $X$ è T2, posso supporre i $W_i$ disgiunti e pongo $U=(nnU_i) nn f(X-(uuW_i))^(c)$
$U$ dovrebbe essere l'intorno aperto di $p$ cercato; infatti $p in U_i$ per costruzione e $f^(-1)(p) sube uu W_i $, da cui $p in f(X-(uuW_i))^(c)$.
Inoltre è facile vedere che $U$ è aperto(essenziale che $#I<infty$).
Ora vorrei porre $V_i=f^(-1)(U) nn W_i$, ma per concludere come potrei vedere che $f^(-1)(U)$ è unione disgiunta dei $V_i$ e che $f:V_i -> U$ è un diffeo. per ogni $i in I$??
