Trovare vettore non nullo tale che q(X) = 0?

Messaggioda Tower01 » 21/09/2019, 09:19

Salve,
Ho un problema. Sto disperando da qualche giorno. Qualcuno riesce a spiegarmi il procedimento (anche facendomi vedere i passaggi?) per trovare un vettore non nullo tale che q(X) = 0?
Poiché il segno della quadratica è indefinita, posso affermare che esiste (così come nel caso della semi-definita, giusto?).

Allego un'immagine.
Immagine

Grazie mille. :)
Tower01
New Member
New Member
 
Messaggio: 1 di 50
Iscritto il: 21/09/2019, 09:03

Re: Trovare vettore non nullo tale che q(X) = 0?

Messaggioda Tower01 » 21/09/2019, 14:17

arnett ha scritto:Hai provato a scrivere esplicitamente $q(x, y, z)=...$? Poi si vede a occhio/per tentativi.


Si, ho provato. Ma non capisco ugualmente, magari sbaglio qualcosa.
Tower01
New Member
New Member
 
Messaggio: 3 di 50
Iscritto il: 21/09/2019, 09:03

Re: Trovare vettore non nullo tale che q(X) = 0?

Messaggioda Bokonon » 21/09/2019, 15:19

Tower01 ha scritto:Poiché il segno della quadratica è indefinita, posso affermare che esiste (così come nel caso della semi-definita, giusto?).

Esatto. Dei vettori isotropi stanno sulla retta $t(0,1,1)$
Se posti i conti (usando l'editor del forum) vediamo dove ti blocchi
Ultima modifica di Bokonon il 21/09/2019, 16:33, modificato 1 volta in totale.
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 1558 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Trovare vettore non nullo tale che q(X) = 0?

Messaggioda Tower01 » 21/09/2019, 15:52

Bokonon ha scritto:
Tower01 ha scritto:Poiché il segno della quadratica è indefinita, posso affermare che esiste (così come nel caso della semi-definita, giusto?).

Esatto. Tutti i vettori isotropi stanno sulla retta $t(0,1,1)$
Se posti i conti (usando l'editor del forum) vediamo dove ti blocchi


Perdonate la mia poca dimestichezza con LaTex.

$q(x', y', z') =$ \( \displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & -1 \\
0 & \sqrt[]{2} & 0
\end{bmatrix}X \)

il risultato che ottengo (mettendo a sistema):

\begin{equation}
\begin{cases}
x^2+ zx = 0\\xy - zy=0 \\ \sqrt[]{2}yz = 0
\end{cases}
\end{equation}

Per questo poi non capisco come procedere :?
Tower01
New Member
New Member
 
Messaggio: 4 di 50
Iscritto il: 21/09/2019, 09:03

Re: Trovare vettore non nullo tale che q(X) = 0?

Messaggioda Bokonon » 21/09/2019, 17:44

Non ho capito da dove esce il sistema.
Facciamo un passo indietro e vediamo la logica.
Abbiamo diagonalizzato A, ovvero abbiamo trovato una base ortonormale tale che $A=QLambdaQ^(-1)=QLambdaQ^(T)$
La quadrica è $Q(X)=X^TAX$
Sostituendo abbiamo $Q(X)=X^TQLambdaQ^(T)X=(Q^TX)^TLambda(Q^(T)X)=X'^TLambdaX'$
Dove $X'=Q^TX$ per cui $X=QX'$
Quindi $N=Q$
Ora se cerchiamo rapidamente un vettore tale che $Q(X)=X^TAX=0$ è naturale concentrarsi su una soluzione di $X=NX'=<0,0,0>$
Guarda la matrice N e chiediti quale combinazione lineare delle colonne mi da il vettore nullo?
E' evidente che sommando la prima e la terza colonna ottengo il vettore nullo, quindi la combinazione (1,0,1) soddisfa la richiesta $X=N<1,0,1> = <0,0,0>$ e ci annulla la Q(x).

Tutti i vettori $LambdaX'=0$ sono isotropi, ovvero $3x'^2-y'^2-z'^2=0$ ovvero tutti i vettori che stanno sulla superficie di un cono centrato nell'origine e che esce lungo l'asse X.
Puoi anche provarlo per Q(x). Prendi il vettore $X=N( ( +-sqrt((y^2+z^2)/3) ),( y ),( z ) ) $
e vedrai che soddisfa $Q(X)=X^TAX$
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 1561 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Trovare vettore non nullo tale che q(X) = 0?

Messaggioda Tower01 » 22/09/2019, 10:36

Bokonon ha scritto:Non ho capito da dove esce il sistema.
Facciamo un passo indietro e vediamo la logica.
Abbiamo diagonalizzato A, ovvero abbiamo trovato una base ortonormale tale che $A=QLambdaQ^(-1)=QLambdaQ^(T)$
La quadrica è $Q(X)=X^TAX$
Sostituendo abbiamo $Q(X)=X^TQLambdaQ^(T)X=(Q^TX)^TLambda(Q^(T)X)=X'^TLambdaX'$
Dove $X'=Q^TX$ per cui $X=QX'$
Quindi $N=Q$


Ok, fino a qui mi è chiaro. :smt023

Ora se cerchiamo rapidamente un vettore tale che $Q(X)=X^TAX=0$ è naturale concentrarsi su una soluzione di $X=NX'=<0,0,0>$
Guarda la matrice N e chiediti quale combinazione lineare delle colonne mi da il vettore nullo?
E' evidente che sommando la prima e la terza colonna ottengo il vettore nullo, quindi la combinazione (1,0,1) soddisfa la richiesta $X=N<1,0,1> = <0,0,0>$ e ci annulla la Q(x).


Qui non capisco come fa a venire il vettore nullo sommando la prima e la terza colonna della matrice N come combinazione lineare di (1, 0 ,1).
Tower01
New Member
New Member
 
Messaggio: 6 di 50
Iscritto il: 21/09/2019, 09:03

Re: Trovare vettore non nullo tale che q(X) = 0?

Messaggioda Tower01 » 22/09/2019, 10:50

arnett ha scritto:
Tower01 ha scritto:
arnett ha scritto:Hai provato a scrivere esplicitamente $q(x, y, z)=...$? Poi si vede a occhio/per tentativi.


Si, ho provato. Ma non capisco ugualmente, magari sbaglio qualcosa.


Bokonon ormai ha risolto, ma per capire se hai capito, riporteresti qui quello che ti ho chiesto? Ti deve venire un'equazione scalare, non un sistema.


Dovrebbe essere:

$x^2 + zx + xy - zy + \sqrt[2]yz = 0$
Tower01
New Member
New Member
 
Messaggio: 7 di 50
Iscritto il: 21/09/2019, 09:03

Re: Trovare vettore non nullo tale che q(X) = 0?

Messaggioda Tower01 » 22/09/2019, 11:53

arnett ha scritto:No, $q(x, y, z)=x^2+y^2-z^2+4xy$.


aaah ho capito... ma non c'è bisogno neanche di calcoli, si vede ad occhio dalla matrice A.
Io facevo tutt'altro, avevo frainteso ciò che mi chiedevi.
Tower01
New Member
New Member
 
Messaggio: 9 di 50
Iscritto il: 21/09/2019, 09:03

Re: Trovare vettore non nullo tale che q(X) = 0?

Messaggioda Tower01 » 22/09/2019, 12:13

Di conseguenza andando a sostituire il vettore $(1, 0, 1)$ si annulla Q(X).

Quindi considerando la seguente matrice:

A= \( \displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix} \)

la forma esplicita è $q(x, y, z) = x^2 + y^2 + 2z^2 + 2xy$

il vettore che soddisfa Q(X) = 0 è $(1, -1, 0)$
Tower01
New Member
New Member
 
Messaggio: 10 di 50
Iscritto il: 21/09/2019, 09:03

Re: Trovare vettore non nullo tale che q(X) = 0?

Messaggioda Tower01 » 22/09/2019, 16:10

Grazie mille a tutti! :)
Prima esperienza in questo forum: fantastica!
Tower01
New Member
New Member
 
Messaggio: 11 di 50
Iscritto il: 21/09/2019, 09:03


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite