Collezione numerabile di insiemi numerabili la cui unione è numerabile

Messaggioda 3m0o » 24/09/2019, 19:18

Sia \( (A_i)_{i \in \mathbb{N} } \) una collezione numerabile di insiemi finiti. Dimostra che \( \mathcal{A}:= \bigcup\limits_{i=0}^{\infty} A_i \) è numerabile. Dimostra che la stessa conclusione è valida anche se \( (A_i)_{i \in \mathbb{N} } \) un' unione numerabile di insiemi numerabili.

Per il caso dove ciascun \( A_i \) è di cardinalità finita, diciamo \( \operatorname{card}(A_i)=n_i \in \mathbb{N} \), ho pensato di creare una collezione numerabile di insiemi finiti \( ( B_i )_{i \in \mathbb{N}} \) tale che \( \bigcup\limits_{i=0}^{\infty} A_i = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty} B_i \) e tale che \( B_i \cap B_j = \emptyset \), \( \forall i\neq j \) e tale che \( \forall i \) \( \operatorname{card}(B_i)=1 \), in questo modo possiamo costruire una mappa \( f : \mathcal{A} \to \mathbb{N} \) biiettiva dove \( f(a)=n \Leftrightarrow a \in B_n \).

Per il caso in cui ho che ciascun \( A_i \) è di cardinalità numerabile non sono sicuro di poter fare questa cosa, dunque pensavo di creare una mappa \( f: \mathcal{A} \hookrightarrow \mathbb{N} \) iniettiva che proverebbe il fatto che \( \mathcal{A} \) è numerabile. E pensavo di farlo in questo modo.
So che esiste una mappa iniettiva \( f_i : A_i \hookrightarrow \mathbb{N} \), mi manca una mappa iniettiva \( g_i : \mathcal{A} \hookrightarrow A_i \). Se la trovo posso definire \( h := f_i \circ g_i \) e ho una mappa iniettiva \( h : \mathcal{A} \hookrightarrow \mathbb{N} \)
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Re: Collezione numerabile di insiemi numerabili la cui unione è numerabile

Messaggioda anto_zoolander » 24/09/2019, 20:03

Onestamente in queste cose sono zero però voglio spendere due centesimi(nella tua direzione non saprei dove andare)

Userei il fatto che $NNtimesNN$ è numerabile e cercherei di dimostrare con AC che $A_i={a_(i,j): j inNN}$ e concludere che $bigcup_( i inNN)A_i={a_(i,j)| (i,j) inNNtimesNN}$
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Re: Collezione numerabile di insiemi numerabili la cui unione è numerabile

Messaggioda 3m0o » 25/09/2019, 06:45

Ciao, se per AC intendi Axioms of choice allora non abbiamo ancora fatto tale assioma dunque dubito che io debba e possa risolverlo tramite AC, nonostante probabilmente in questo modo lo si possa risolvere
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Re: Collezione numerabile di insiemi numerabili la cui unione è numerabile

Messaggioda otta96 » 25/09/2019, 07:03

Il fatto è che non lo puoi risolvere senza ;)
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Re: Collezione numerabile di insiemi numerabili la cui unione è numerabile

Messaggioda 3m0o » 27/09/2019, 09:34

A boh allora... :-D
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