Sia \( (A_i)_{i \in \mathbb{N} } \) una collezione numerabile di insiemi finiti. Dimostra che \( \mathcal{A}:= \bigcup\limits_{i=0}^{\infty} A_i \) è numerabile. Dimostra che la stessa conclusione è valida anche se \( (A_i)_{i \in \mathbb{N} } \) un' unione numerabile di insiemi numerabili.
Per il caso dove ciascun \( A_i \) è di cardinalità finita, diciamo \( \operatorname{card}(A_i)=n_i \in \mathbb{N} \), ho pensato di creare una collezione numerabile di insiemi finiti \( ( B_i )_{i \in \mathbb{N}} \) tale che \( \bigcup\limits_{i=0}^{\infty} A_i = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty} B_i \) e tale che \( B_i \cap B_j = \emptyset \), \( \forall i\neq j \) e tale che \( \forall i \) \( \operatorname{card}(B_i)=1 \), in questo modo possiamo costruire una mappa \( f : \mathcal{A} \to \mathbb{N} \) biiettiva dove \( f(a)=n \Leftrightarrow a \in B_n \).
Per il caso in cui ho che ciascun \( A_i \) è di cardinalità numerabile non sono sicuro di poter fare questa cosa, dunque pensavo di creare una mappa \( f: \mathcal{A} \hookrightarrow \mathbb{N} \) iniettiva che proverebbe il fatto che \( \mathcal{A} \) è numerabile. E pensavo di farlo in questo modo.
So che esiste una mappa iniettiva \( f_i : A_i \hookrightarrow \mathbb{N} \), mi manca una mappa iniettiva \( g_i : \mathcal{A} \hookrightarrow A_i \). Se la trovo posso definire \( h := f_i \circ g_i \) e ho una mappa iniettiva \( h : \mathcal{A} \hookrightarrow \mathbb{N} \)