Identificazione di SO(3)

[leonardo_mutti]

Il mio libro di testo afferma che ogni matrice di $\text{SO}(3)$ che non sia l'identità è univocamente determinata dall'asse e dall'angolo di rotazione. L'asse è $\text{span}(v)$, dove $Av=v$.
Non mi è chiaro come venga definito l'angolo di rotazione. Non bisognerebbe specificare anche l'orientazione dell'asse?

[leonardo_mutti]

In che senso? Intendi dire che bisognerebbe specificare se la rotazione avviene in senso antiorario o orario rispetto all'asse?

Esatto, altrimenti dato un asse e un angolo solo possibili due rotazioni.

[leonardo_mutti]

Ma mi pare si consideri sempre la rotazione in senso antiorario per convenzione; nel senso che le formule standard, per esempio quella che ti dà la matrice di rotazione come $((cos \theta, -sin theta, 0 ), (sin theta, cos theta, 0),(0, 0, 1))$ se si usa il tuo $v$ come terzo vettore della base di $\RR^3$ funzionano con rotazioni antiorarie, se vuoi rotazioni orarie varrà una formula diversa con qualche segno cambiato.

Il verso è (anti)orario se c'è un orientazione dell'asse rispetto alla quale fare riferimento, no? Altrimenti posso scegliere un qualsiasi verso dell'asse e operare una rotazione in senso (anti)orario, ma si otterranno due risultati differenti

[dissonance]

Leonardo dice una cosa corretta. In fisica, si dice che l'asse di rotazione è uno "pseudo-vettore", nel senso che dipende dall'orientazione dello spazio; se si cambia l'orientazione, il vettore cambia il segno.

[leonardo_mutti]

Ma l'asse è individuato da un vettore il quale ovviamente è orientato

Esatto, ma esistono vettori di diverso segno che lo individuano

[dissonance]

Ma l'asse è individuato da un vettore il quale ovviamente è orientato

Esatto, ma esistono vettori di diverso segno che lo individuano

Certo. Infatti, l'identificazione non è 1:1; ci sono rotazioni che corrispondono a più di una coppia asse-angolo. Infatti, la rotazione di angolo \(\pi\) attorno all'asse \(n\) è uguale alla rotazione di angolo\(-\pi\) attorno all'asse \(-n\).

Quindi, \(SO(3)\) è identificato al quoziente
\[
\mathbb B^3/ \sim, \]
dove \(\mathbb B^3\) è una palla chiusa in \(\mathbb R^3\) di raggio \(\pi\), e la relazione di equivalenza è
\[
x\sim y \quad \iff\quad x, y\in\partial \mathbb B^3,\ x=-y.\]
Ad ogni elemento \(x\) di questo quoziente, si associa la rotazione di asse \(n:=x/|x|\) e angolo \(|x|\). Se \(x=0\) si conviene che la rotazione corrispondente sia l'identità.

E' necessario passare al quoziente esattamente per identificare correttamente le rotazioni di angolo \(\pi\) e \(-\pi\). Tutto questo è spiegato (molto meglio di come abbia fatto io) qui:

https://en.wikipedia.org/wiki/3D_rotati ... p#Topology

[vict85]

L'\(S\) (special) davanti alla \(O\) (ortogonal) implica che si stia considerando solo le trasformazioni orientate positivamente.

Secondo me è più utile l'identificazione tra \(SO(n)\) e le basi ortonormali orientate positivamente. Cosa che mette in evidenza il collegamento tra moving frames e \(SO(n)\) (e funziona per ogni \(n\)).

[leonardo_mutti]

Ma l'asse è individuato da un vettore il quale ovviamente è orientato

Esatto, ma esistono vettori di diverso segno che lo individuano

Certo. Infatti, l'identificazione non è 1:1; ci sono rotazioni che corrispondono a più di una coppia asse-angolo. Infatti, la rotazione di angolo \(\pi\) attorno all'asse \(n\) è uguale alla rotazione di angolo\(-\pi\) attorno all'asse \(-n\).

Quindi, \(SO(3)\) è identificato al quoziente
\[
\mathbb B^3/ \sim, \]
dove \(\mathbb B^3\) è una palla chiusa in \(\mathbb R^3\) di raggio \(\pi\), e la relazione di equivalenza è
\[
x\sim y \quad \iff\quad x, y\in\partial \mathbb B^3,\ x=-y.\]
Ad ogni elemento \(x\) di questo quoziente, si associa la rotazione di asse \(n:=x/|x|\) e angolo \(|x|\). Se \(x=0\) si conviene che la rotazione corrispondente sia l'identità.

E' necessario passare al quoziente esattamente per identificare correttamente le rotazioni di angolo \(\pi\) e \(-\pi\). Tutto questo è spiegato (molto meglio di come abbia fatto io) qui:

https://en.wikipedia.org/wiki/3D_rotati ... p#Topology

Il mio problema è che so definire univocamente l'asse ma non l'angolo, e tutti i discorsi successivi sembrano dare questa definizione per assodata.
Sapresti dunque dirmi come si definisce formalmente l'angolo di una matrice $\SO{3}$?

[dissonance]

Si osserva che un autovalore deve per forza essere 1, e che gli altri due devono essere coniugati e di modulo unitario, quindi uguali a $e^{\pm i\theta} $ per qualche $\theta\in \mathbb R$.

Devo proprio andare, ora. Spero di avere dato per lo meno l'idea fondamentale.

[Bokonon]

Leonardo, per comprendere appieno le rotazioni è necessario attendere di studiare le matrici unitarie (ovvero le matrici di rotazione in campo complesso) e la relazione che hanno con le matrici di rotazione in campo reale. Dissonance ha accennato proprio a questo.

Invece di entrare nel merito, posso provare a darti un'idea generale della relazione e un metodo su come effettivamente trovare l'angolo. Sarà una scaletta telegrafica che mira ad evidenziare gli aspetti essenziali e più importanti.

- le matrici SO(3) formano un gruppo, ovvero qualsiasi composizione di matrici appartenenti a SO(3) restituisce ancora una matrice che appartiene a SO(3). Il che è abbastanza naturale, conoscendone il significato geometrico: se ruoto un sistema attorno ad un asse di un angolo $alpha$ e poi lo ruoto nuovamente di un angolo $beta$, allora è la stessa cosa di ruotarlo direttamente di un angolo $alpha+beta$ e così via. Inoltre le Special Orthogonal sono solo e unicamente le matrici che hanno determinante pari ad 1.

-in campo reale le matrici di rotazione sono associate alle matrici SO(3) tramite una Lie Algebra so(3). Tradotto, mettono in relazione le matrici antisimmetriche in campo reale e le matrici unitarie in campo complesso. Pertanto, in campo reale, hanno sempre un solo autovalore reale pari ad 1 (il cui autovettore corrisponde all'asse di rotazione) e due autovalori complessi e coniugati, ergo non sono mai diagonalizzabili. Nota bene: se una matrice di rotazione ha determinante $-1$ allora è una riflessione (una rotazione di 180°) e come sai sono diagonalizzabili ed hanno autovalori pari a $+-1$. Per questo vengono escluse (vedi punto precedente). Interessano solo e unicamente le matrici di rotazione che hanno determinante $+1$, ovvero rotazioni attorno ad un asse in senso orario o antiorario.

-consideriamo la generica matrice a blocchi di rotazione $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , cos(theta) , -sin(theta) ),( 0 , sin(theta) , cos(theta) ) ) $
La traccia della matrice è sempre $Trac cia=1+2cos(theta)$ e ci fornisce una formula per determinare l'angolo di rotazione.
$theta=cos^(-1)[(Trac cia -1)/2]$