da Bokonon » 26/09/2019, 08:17
Leonardo, per comprendere appieno le rotazioni è necessario attendere di studiare le matrici unitarie (ovvero le matrici di rotazione in campo complesso) e la relazione che hanno con le matrici di rotazione in campo reale. Dissonance ha accennato proprio a questo.
Invece di entrare nel merito, posso provare a darti un'idea generale della relazione e un metodo su come effettivamente trovare l'angolo. Sarà una scaletta telegrafica che mira ad evidenziare gli aspetti essenziali e più importanti.
- le matrici SO(3) formano un gruppo, ovvero qualsiasi composizione di matrici appartenenti a SO(3) restituisce ancora una matrice che appartiene a SO(3). Il che è abbastanza naturale, conoscendone il significato geometrico: se ruoto un sistema attorno ad un asse di un angolo $alpha$ e poi lo ruoto nuovamente di un angolo $beta$, allora è la stessa cosa di ruotarlo direttamente di un angolo $alpha+beta$ e così via. Inoltre le Special Orthogonal sono solo e unicamente le matrici che hanno determinante pari ad 1.
-in campo reale le matrici di rotazione sono associate alle matrici SO(3) tramite una Lie Algebra so(3). Tradotto, mettono in relazione le matrici antisimmetriche in campo reale e le matrici unitarie in campo complesso. Pertanto, in campo reale, hanno sempre un solo autovalore reale pari ad 1 (il cui autovettore corrisponde all'asse di rotazione) e due autovalori complessi e coniugati, ergo non sono mai diagonalizzabili. Nota bene: se una matrice di rotazione ha determinante $-1$ allora è una riflessione (una rotazione di 180°) e come sai sono diagonalizzabili ed hanno autovalori pari a $+-1$. Per questo vengono escluse (vedi punto precedente). Interessano solo e unicamente le matrici di rotazione che hanno determinante $+1$, ovvero rotazioni attorno ad un asse in senso orario o antiorario.
-consideriamo la generica matrice a blocchi di rotazione $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , cos(theta) , -sin(theta) ),( 0 , sin(theta) , cos(theta) ) ) $
La traccia della matrice è sempre $Trac cia=1+2cos(theta)$ e ci fornisce una formula per determinare l'angolo di rotazione.
$theta=cos^(-1)[(Trac cia -1)/2]$
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Bokonon il 26/09/2019, 09:29, modificato 3 volte in totale.