Re: Identificazione di SO(3)

Messaggioda leonardo_mutti » 26/09/2019, 22:38

Bokonon ha scritto:Angolo e asse sono ok, ma nessuno ti chiede di trovare una base. Non è necessaria. Applica la formuletta. Una volta scelto il verso, stabilisci che la rotazione è antioraria. Se poi fai la stessa cosa per $T^(-1)=T^T$ avrai il medesimo asse ma rotazione oraria.

Studi fisica, quante volte hai scelto un sistema di riferimento arbitrario per risolvere gli esercizi?
E quale principio ti garantisce che non esista un sistema preferenziale?
Se ti dico che l'asse della terra è inclinato, la prima domanda che mi poni qual è?

Infine, alla matrice non interessa nulla del verso, conosce solo la direzione dell'asse. Quindi a quella rotazione corrisponde una sola matrice di SO(3): lei vede solo l'autospazio e l'angolo di rotazione.

Ci saranno esercizi in cui ti danno un sistema di riferimento, altri in cui lo deciderai tu come sempre.
Quando ho scritto che una volta fissato un verso hai una rotazione, lo intendevo letteralmente.

Prova ad usare la formuletta e ti risparmi di definire il sistema completo.


Infatti per ogni scelta del verso evidenziavo che a seconda dell'orientamento dello spazio (orario, antiorario) l'angolo cambia. Quindi fissato l'orientamento, scelto il verso dell'asse l'angolo è unico.

Ma fissata l'orientazione dello spazio, l'asse e l'angolo non definiscono un'unica matrice di SO(3), ma due, a seconda del verso dell'asse. Quindi concludo che la proposizione 'ogni matrice di SO(3) è univocamente identificata dal suo asse e dal suo angolo' è falsa?

(grazie mille intanto)
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Re: Identificazione di SO(3)

Messaggioda Bokonon » 26/09/2019, 22:49

Quindi ci sono due matrici che hanno lo stesso autospazio (rispetto alla base canonica) perchè tu senti il bisogno di stabilire un verso?
Un angolo + una direzione = una matrice.
Un verso + un angolo antiorario = una rotazione che hai deciso tu.
Conosci vero la differenza fra direzione e verso?
Alla matematica non interessa quali sistemi di riferimento stabiliamo. Una parabola è una parabola. Punto.
Poi se è concava o convessa o punta verso destra o sinistra o nord-est poco gli frega.

(prego)
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Re: Identificazione di SO(3)

Messaggioda leonardo_mutti » 26/09/2019, 23:07

Bokonon ha scritto:Quindi ci sono due matrici che hanno lo stesso autospazio (rispetto alla base canonica) perchè tu senti il bisogno di stabilire un verso?
Un angolo + una direzione = una matrice.
Un verso + un angolo antiorario = una rotazione che hai deciso tu.
Conosci vero la differenza fra direzione e verso?
Alla matematica non interessa quali sistemi di riferimento stabiliamo. Una parabola è una parabola. Punto.
Poi se è concava o convessa o punta verso destra o sinistra o nord-est poco gli frega.

(prego)


Forse non riesco a capirti, io sto affermando che:
1) un orientamento dello spazio (=verso della rotazione antiorario o orario) + un asse (una retta, solo direzione e niente verso) + un verso della retta + un angolo determinano certamente un'unica matrice SO(3)
2) non è vero che un asse + un angolo determinano un'unica matrice SO(3)
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Re: Identificazione di SO(3)

Messaggioda Bokonon » 26/09/2019, 23:15

leonardo_mutti ha scritto:Il mio libro parla di asse come di autospazio di $1$, e dice che asse + angolo determinano unicamente una matrice in $\text{SO}(3)$. Siccome la definizione dell'angolo discende dal verso che scegli dell'asse, mi chiedevo come posso spiegare la proposizione del libro.

Più chiaro di così non posso essere Leonardo.
L'angolo è neutro finchè non stabilisci un verso dell'asse.
Non c'è nessna ragione al mondo di catalogare le matrici in base ad un sistema di riferimento preferenziale..se non che pare che tu ne abbia uno stretto bisogno esistenziale!
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Re: Identificazione di SO(3)

Messaggioda leonardo_mutti » 26/09/2019, 23:33

Bokonon ha scritto:
leonardo_mutti ha scritto:Il mio libro parla di asse come di autospazio di $1$, e dice che asse + angolo determinano unicamente una matrice in $\text{SO}(3)$. Siccome la definizione dell'angolo discende dal verso che scegli dell'asse, mi chiedevo come posso spiegare la proposizione del libro.

Più chiaro di così non posso essere Leonardo.
L'angolo è neutro finchè non stabilisci un verso dell'asse.
Non c'è nessna ragione al mondo di catalogare le matrici in base ad un sistema di riferimento preferenziale..se non che pare che tu ne abbia uno stretto bisogno esistenziale!


Il mio scopo è di classificare queste matrici di SO(3) in base a asse e angolo per poi costruire un modello topologico come indicato da Dissonance.
Considera una rotazione di 90° attorno all'asse $z$, in senso antiorario. Questo è ambiguo, non determina bene una sola rotazione (una matrice di SO(3)), perchè posso intendere sia la rotazione di 90° antioraria attorno all'asse $z$ orientato positivamente, che la rotazione di 90° antioraria attorno all'asse $z$ orientato negativamente, che sono due trasformazioni diverse.

Sto provando a far corrispondere ad un asse e ad un angolo una sola rotazione (matrice di SO(3)): non posso farlo, non è così?
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Re: Identificazione di SO(3)

Messaggioda Bokonon » 26/09/2019, 23:58

Senti sta diventando una chat.
Se vuoi classificarle tu, fai pure.
La definizione di SO è chiara, semplice e consistente ed è indipendente dal sistema di riferimento.
Il prodotto di due matrici distinte $T$ e $T^(-1)$ mi da $I$ eppure non conoscono il verso dell'asse.
Se lo ritieni matematicamente inaccettabile, posta su http://vixra.org/
Ultimamente va di moda.
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Re: Identificazione di SO(3)

Messaggioda leonardo_mutti » 27/09/2019, 00:13

Bokonon ha scritto:Senti sta diventando una chat.
Se vuoi classificarle tu, fai pure.
La definizione di SO è chiara, semplice e consistente ed è indipendente dal sistema di riferimento.
Il prodotto di due matrici distinte $T$ e $T^(-1)$ mi da $I$ eppure non conoscono il verso dell'asse.
Se lo ritieni matematicamente inaccettabile, posta su http://vixra.org/
Ultimamente va di moda.


Non lo metto in dubbio ma questa questione non me la sono inventata io ora. Ti cito Wikipedia:

Every nontrivial proper rotation in 3 dimensions fixes a unique 1-dimensional linear subspace of R3 which is called the axis of rotation (this is Euler's rotation theorem). Each such rotation acts as an ordinary 2-dimensional rotation in the plane orthogonal to this axis. Since every 2-dimensional rotation can be represented by an angle φ, an arbitrary 3-dimensional rotation can be specified by an axis of rotation together with an angle of rotation about this axis. (Technically, one needs to specify an orientation for the axis and whether the rotation is taken to be clockwise or counterclockwise with respect to this orientation).

Come vedi l'ultima frase tra parentesi afferma lo stesso che sto dicendo io. Solamente che dall'articolo non mi ero chiaro come definisse l'angolo.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group
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