Mappa biiettiva e continua(?)

[gugo82]

Va benissimo, ma è troppo "industriale" per piacermi… Mi piace essere "artigianale", quando posso.


P.S.: La cosa divertente è che ti fidi ciecamente di un teorema astratto piuttosto che delle tue "manine sante".

[3m0o]

Beh a me piace, inoltre è abbastanza facile trovare due mappe iniettive. Comunque l'assistente a corso mi ha consigliato di utilizzare due mappe iniettive piuttosto che una biiettiva.

P.S: Beh mi fido molto di più di un certo Cantor che di me stesso per queste cose

[3m0o]

1) Dimostra che esiste una biiezione \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \), questa mappa può essere continua?

Facciamo le cose “con le mani”.

Prendiamo la funzione $phi:]0,1[ -> RR$ definita ponendo $phi(t) := tan(pi x - pi/2)$, che è evidentemente una biiezione di $]0,1[$ in $RR$ e scegliamo una successione $(x_n) subset ]0,1[$ formata da elementi tutti distinti (possiamo prendere una successione strettamente crescente e convergente ad $1$, e.g. $x_n = n/(n+1)$); la funzione $f:[0,1] -> RR$ definita ponendo:

$f(x) := \{ (phi(x), text(, se ) x != x_n text( per ogni ) n in NN), (phi(x_1), text(, se ) x=0), (phi(x_2), text(, se ) x=1), (phi(x_(nu+2)), text(, se ) x=x_nu text( per qualche ) nu in NN):}$

è una biiezione.

Comunque si ora vedo che è una biiezione... ma in ogni caso avresti potuto anche semplificare il tutto e fare \( f := \phi \circ \psi \), dove \( \phi \) è la tua \( \phi \), mentre \( \psi : [0,1] \to ]0,1[ \) è la biiezione seguente:
$psi(x) := \{ (1/2, text(, se ) x = 0), (frac{1}{2^{n+2}}, text(, se ) x=\frac{1}{2^n}), (x, text(, altrimenti )):}$
Dove \( n \in \mathbb{N}\)
Qui ho preso il \( 1/2 \) ma avrei potuto prendere qualunque altra frazione, e costruire una biiezione analoga.