Va benissimo, ma è troppo "industriale" per piacermi… Mi piace essere "artigianale", quando posso.
P.S.: La cosa divertente è che ti fidi ciecamente di un teorema astratto piuttosto che delle tue "manine sante".
gugo82 ha scritto:3m0o ha scritto:1) Dimostra che esiste una biiezione \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \), questa mappa può essere continua?
Facciamo le cose “con le mani”.
Prendiamo la funzione $phi:]0,1[ -> RR$ definita ponendo $phi(t) := tan(pi x - pi/2)$, che è evidentemente una biiezione di $]0,1[$ in $RR$ e scegliamo una successione $(x_n) subset ]0,1[$ formata da elementi tutti distinti (possiamo prendere una successione strettamente crescente e convergente ad $1$, e.g. $x_n = n/(n+1)$); la funzione $f:[0,1] -> RR$ definita ponendo:
$f(x) := \{ (phi(x), text(, se ) x != x_n text( per ogni ) n in NN), (phi(x_1), text(, se ) x=0), (phi(x_2), text(, se ) x=1), (phi(x_(nu+2)), text(, se ) x=x_nu text( per qualche ) nu in NN):}$
è una biiezione.
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