Mappa biiettiva e continua(?)

[3m0o]

1) Dimostra che esiste una biiezione \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \), questa mappa può essere continua?
2) Dimostra che esiste una biiezione \( g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \), questa mappa può essere continua?

Per 1) io ho fatto questo ma non so se va bene
Definiamo le seguenti mappe \( f_1 := \operatorname{id} : [0,1] \hookrightarrow \mathbb{R} \), e \( f_2 : \mathbb{R} \hookrightarrow [0,1] \), tale che \( f_2(x):= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{2}{\pi} \arctan(x) + 1 \end{pmatrix} \) abbiamo chiaramente che \( f_1 \) e \( f_2 \) sono iniettive e dunque per il teorema di Schroder Bernstein abbiamo una biiezione \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \). Inoltre non può essere continua in quanto se lo fosse avremmo per il Teorema di Weierstrass che \( f \) ammette un massimo e un minimo assoluti il che contraddice la biiettività della funzione.

Per il 2) pensavo sostanzialmente di utilizzare la stessa idea, consideriamo innanzi tutto una funzione \( h_1 : (0,1) \hookrightarrow (0,1) \times (0,1) \) in modo tale che \( \forall x \in (0,1) \hookrightarrow (0,x) \in (0,1)^2 \). La funzione \( h_1 \) è chiaramente iniettiva. Consideriamo ora \( h_2 : (0,1)^2 \hookrightarrow (0,1) \), e consideriamo \( (x,y) \in (0,1) \) abbiamo che \( x=0.x_1 x_2 x_3 \ldots \) e \( y= 0.y_1 y_2 y_3 \ldots \) per qualche \( (x_i)_{i \in I} \) e \( (y_j)_{j \in J } \), dove \( I, J \) sono insiemi di indici. \( h_2(x,y)= 0.x_1y_1x_2y_2 \ldots \). Anche \(h_2 \) è iniettiva Utilizzando Schroder Bernstein abbiamo che \( (0,1)^2 \cong (0,1) \), grazie ad una mappa \( h: (0,1) \to (0,1)^2 \) biiettiva.
Ora consideriamo la funzione \( \operatorname{id} : (0,1) \hookrightarrow [0,1] \) è chiaramente iniettiva e la funzione \( \phi_1 : [0,1] \hookrightarrow (0,1) \) dove \( x \to x/2 + 1/3 \), anche \( \phi_1 \) è iniettiva. Pertanto abbiamo che \( (0,1) \cong [0,1] \), grazie ad una mappa biiettiva \( \phi : [0,1] \to (0,1) \) e in modo analogo abbiamo che \( (0,1)^2 \cong [0,1]^2 \) grazie ad una mappa \( \varphi: (0,1)^2 \to [0,1]^2 \), ed in modo analogo al punto 1) abbiamo l'esistenza di una biiezione \( \psi : [0,1]^2 \to \mathbb{R}^2 \) Pertanto

\[ \mathbb{R} \cong_{f^{-1}} [0,1] \cong_{\phi} (0,1) \cong_{h} (0,1)^2 \cong_{\varphi} [0,1]^2 \cong_{\psi} \mathbb{R}^2 \]

Pertanto abbiamo che \( g:= f \circ \phi^{-1} \circ h^{-1} \circ \varphi^{-1} \circ \psi^{-1} \)

Pensate possa andar bene?
In ogni caso non so bene cosa pensare della continuità, dubito sia continua per il fatto che ho utilizzato \( f \) nella mia costruzione (del punto 1) ma questo non esclude che possa esistere una funzione continua e biietiva... il testo suggerisce di utilizzare il teorema dei valori intermedi ma non vedo come.

[dissonance]

il testo suggerisce di utilizzare il teorema dei valori intermedi ma non vedo come.

Togli un punto a \(\mathbb R^2\), per esempio l'origine. Considera \(g:=f|_{\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}}\). Questa funzione è una biezione
\[
g\colon \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\to \mathbb R\setminus \{p\}, \]
dove \(p=f(0,0)\). Se \(f\) fosse continua, anche \(g\) lo sarebbe, ma \(\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\) è connesso mentre \(\mathbb R\setminus\{p\}\) non lo è.

Se non hai studiato la connessione, cerca di arrivare ad una contraddizione usando il teorema dei valori intermedi; è la stessa cosa.

[vict85]

Hai fatto un errore nell'iniezione \(h_1\), infatti nessuno degli elementi del tipo \((0, x)\) appartiene a \((0,1)\times (0,1)\). Appartengono tutti al bordo del rettangolo. Sinceramente ti consiglio di usare la diagonale \(x\mapsto (x,x)\).

[3m0o]

Scusami ma perché, se \( x \in (0,1) \) allora \( (0,x) \in (0,1) \times (0,1) \)... ad esempio se \( x= 1/2 \) abbiamo \( (0,1/2) \) non sta sul bordo del rettangolo...

[vict85]

Perché \((0,1)\times(0,1)\) è un quadrato aperto di lato 1 appoggiato sull'asse \(x\). Quindi non contiene punti dell'asse \(x\) o dell'asse \(y\). Similmente per \((1,\alpha)\) e \((\alpha, 1)\).

[3m0o]

il testo suggerisce di utilizzare il teorema dei valori intermedi ma non vedo come.

Togli un punto a \(\mathbb R^2\), per esempio l'origine. Considera \(g:=f|_{\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}}\). Questa funzione è una biezione
\[
g\colon \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\to \mathbb R\setminus \{p\}, \]
dove \(p=f(0,0)\). Se \(f\) fosse continua, anche \(g\) lo sarebbe, ma \(\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\) è connesso mentre \(\mathbb R\setminus\{p\}\) non lo è.

Se non hai studiato la connessione, cerca di arrivare ad una contraddizione usando il teorema dei valori intermedi; è la stessa cosa.

Consideriamo due punti \( p_1, p_2 \in \mathbb{R}^2 \) e due cammini distinti tanne che per i punti di estremi \( \gamma_1 : [0,1] \to \mathbb{R}^2 \) , \gamma_2 : [0,1] \to \mathbb{R}^2 \) dove \( \gamma_1 (0 ) = \gamma_2(0)=p_1 \) e \( \gamma_1(1)=\gamma_2(1)=p_2 \) ma \( \forall x,y \in (0,1) \) \( \gamma_1(x) \neq \gamma_2 (y) \) definiamo \( g_1 = f \circ \gamma_1 \) e \( g_2 = f \circ \gamma_2 \) abbiamo \( \forall c \in (g_1(0),g_1(1)) \) l'esistenza di un \( x \in (0,1) \) e \( y \in (0,1) \) tale che \( g_1(x)= c \) e \( g_2(y)=c \) pertanto abbiamo \( f(\gamma_1(x))=f(\gamma_2(y) \) dove \( \gamma_1(x) \neq \gamma_2(y) \) . Contraddizione.

[3m0o]

Perché \((0,1)\times(0,1)\) è un quadrato aperto di lato 1 appoggiato sull'asse \(x\). Quindi non contiene punti dell'asse \(x\) o dell'asse \(y\). Similmente per \((1,\alpha)\) e \((\alpha, 1)\).

Si hai ragione... ops

[vict85]

il testo suggerisce di utilizzare il teorema dei valori intermedi ma non vedo come.

Togli un punto a \(\mathbb R^2\), per esempio l'origine. Considera \(g:=f|_{\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}}\). Questa funzione è una biezione
\[
g\colon \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\to \mathbb R\setminus \{p\}, \]
dove \(p=f(0,0)\). Se \(f\) fosse continua, anche \(g\) lo sarebbe, ma \(\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\) è connesso mentre \(\mathbb R\setminus\{p\}\) non lo è.

Se non hai studiato la connessione, cerca di arrivare ad una contraddizione usando il teorema dei valori intermedi; è la stessa cosa.

Puoi anche usare la connessione senza saperlo. Togli un punto \(\alpha\) da \(\mathbb{R}\) e considera la mappa
\[ f(r) = \begin{cases} 1 & \text{per } r > \alpha \\ -1 & \text{per } r < \alpha \end{cases} \]

Questa funzione è continua da \(\mathbb R\setminus\{\alpha\}\) in \(\mathbb{R}\). Cosa succede se la componi a destra con la biezione?

[gugo82]

1) Dimostra che esiste una biiezione \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \), questa mappa può essere continua?

Facciamo le cose “con le mani”.

Prendiamo la funzione $phi:]0,1[ -> RR$ definita ponendo $phi(t) := tan(pi x - pi/2)$, che è evidentemente una biiezione di $]0,1[$ in $RR$ e scegliamo una successione $(x_n) subset ]0,1[$ formata da elementi tutti distinti (possiamo prendere una successione strettamente crescente e convergente ad $1$, e.g. $x_n = n/(n+1)$); la funzione $f:[0,1] -> RR$ definita ponendo:

$f(x) := \{ (phi(x), text(, se ) x != x_n text( per ogni ) n in NN), (phi(x_1), text(, se ) x=0), (phi(x_2), text(, se ) x=1), (phi(x_(nu+2)), text(, se ) x=x_nu text( per qualche ) nu in NN):}$

è una biiezione.

[3m0o]

$ f(x) := \{ (phi(x), text(, se ) x != x_n text( per ogni ) n in NN), (phi(x_1), text(, se ) x=0), (phi(x_2), text(, se ) x=1), (phi(x_(nu+2)), text(, se ) x=x_nu text( per qualche ) nu in NN):} $

è una biiezione.

A me non risulta evidente che questa sia una biiezione, quando salgo sul treno provo a dimostrarlo (non dico che non lo sia, solo che non lo vedo). Comunque perché non dovrebbe andare bene il modo mio? Insomma ho dimostrato l'esistenza di una biiezione costruendo due mappe iniettive e utilizzando il teorema di Schroder Bernstein.