La topologia indotta da una distanza su un insieme finito è quella discreta

[marco2132k]

Ciao. Siano \( X \) un insieme e \( d \) una distanza su \( X \). Chiamo topologia indotta da \( d \) la topologia su \( X \) dove è aperto un insieme che contenga una palla aperta di centro \( x \), per ogni suo punto \( x \). Voglio provare che tale topologia coincide con quella discreta, quando \( X \) sia finito.

Dimostrazione. Sia \( S\subset X \) un sottoinsieme di \( X \). Fissato \( x\in S \), l'immagine \( d_xX \) è finita (qui \( d_x \) è la funzione \( X\to\mathbb{R} \) definita come \( y\mapsto d(x,y) \), ovviamente). Esiste dunque il minimo \( \rho=\min_{y\neq x}d(x,y) \), e la palla di raggio \( \rho \) è interamente contenuta in \( S \). \( \square \)

[anto_zoolander]

Si la dimostrazione va bene perché quello che hai mostrato in sostanza è che ogni ${x}$ è aperto.
Infatti preso $x in X$ la palla $B(x,rho)$ con $rho$ come da te definito è proprio ${x}$

[otta96]

Chi ti dice che il minimo sia diverso da zero?
EDIT: non avevo visto che avevi messo il diverso, allora va bene.
Nota comunque che hai usato solamente il fatto che l'insieme delle distanze tra punti diversi ha inf maggiore di zero, la stessa dimostrazione funziona con solamente questa ipotesi.

[marco2132k]

Si la dimostrazione va bene perché quello che hai mostrato in sostanza è che ogni {x} è aperto.

Vero! (Tra l'altro non mi ero accorto che in appendice c'era la soluzione...).

@otta96 Sì, ricordo di aver provato a dimostrare qualcosa dove avevo bisogno solo dell'inf. Però non ricordo che cosa

[otta96]

Quello che dicevo io era che esattamente quella stessa cosa (addirittura la stessa dimostrazione) vale in quelle ipotesi più deboli.
Di più, se hai uno spazio metrico $X$ e un sottoinsieme $Y$ con quella proprietà puoi dimostrare che $Y$ è completo e quindi anche chiuso (oltre che discreto per quanto già visto).