Quanti 8 possiamo disegnare?

[3m0o]

La domanda è la seguente:
Quante volte posso disegnare la figura otto nel piano euclideo \( \mathbb{R}^2 \) senza che due distinti otto si tocchino?
In lingua originale
"How many times can one draw the figure eight on the Euclidean plane \( \mathbb{R}^2 \) without any two distinct eights touching each other?"

Io ho pensato a questo, siccome diventa una questione di normalizzazione riusciamo a racchiudere una figura \( 8 \) in un rettangolino \( R_1 \) di \( \mathbb{R}^2 \) in modo tale che il numero \( 8 \) sia incluso in \( \operatorname{Int}(R_1) \) dove \( \operatorname{Int} \) è l'interno, e tale che nessun punto di \( \partial R_1\) intersechi un punto dell' 8. La domanda è equivalente a: "Con quanti rettangoli possiamo riempire il piano euclideo?"
Siccome siamo in grado di creare una biiezione tra gli \( 8 \) e i rettangoli, siccome per ogni rettangolo ci disegnamo un 8.
Se riusciamo a mettere in biiezione i rettangoli con \( \mathbb{N} \) abbiamo dimostrato che il numero di 8 è numerabile.

Siano \( R_{i} = ]\alpha_i, \beta_i[\times]\gamma_i, \delta_i [ \) un rettangolo e \( i \in \mathcal{A} \) un insieme di indici. Riusciamo a mettere in corrispondenza biunivoca l'insieme di rettangoli con l'insieme di indici \( \mathcal{A} \).
Sia ora \( (R_i )_{i \in \mathcal{A} } \) una collezione qualunque di rettangoli aperti di \( \mathbb{R}^2 \) non vuoti, a due a due disgiunti. Dimostriamo che \( \mathcal{A} \) è numerabile.
Per densità di \( \mathbb{Q} \) in \( \mathbb{R} \) abbiamo che esiste \( \forall ]\alpha_i, \beta_i[\times]\gamma_i, \delta_i [ \) esiste \(\alpha_i \leq q_{\alpha, \beta,i} \leq \beta_i \) e \( \gamma_i \leq q_{\gamma, \delta,i} \leq \delta_i \). Pertanto abbiamo che possiamo creare una mappa iniettiva \( \phi : (R_i)_{i \mathcal{A}} \hookrightarrow \mathbb{Q}^2 \) tale che \( R_i \mapsto \phi(R_i)=(q_{\alpha, \beta,i},q_{\gamma, \delta,i}) \) siccome \( \mathbb{Q}^2 \cong \mathbb{N} \) è numerabile abbiamo trovato una mappa biiettiva tra \( f: (R_i)_{i \mathcal{A}} \hookrightarrow \mathbb{N} \) e pertanto il numero di 8 che possiamo disegnare nel piano euclideo in modo tale che nessun otto tocchi un'altro è numerabile.

Vi sembra poter funzionare?

[gugo82]

Che se ne possano disegnare infiniti, in quantità almeno numerabile, non mi pare una grande scoperta.

Ovviamente, se non c’è la richiesta che tali figure siano tra loro congruenti, mi pare si possano disegnare un’infinità numerabile di “otto” sempre più piccoli in ogni vuoto di ogni “otto” più grande mi pare ovvio.

Quindi bisognerebbe capire meglio il senso della domanda.

[3m0o]

Che se ne possano disegnare infiniti, in quantità almeno numerabile, non mi pare una grande scoperta.

Ovviamente, se non c’è la richiesta che tali figure siano tra loro congruenti, mi pare si possano disegnare un’infinità numerabile di “otto” sempre più piccoli in ogni vuoto di ogni “otto” più grande mi pare ovvio.

Quindi bisognerebbe capire meglio il senso della domanda.

Effettivamente non avevo pensato che si potesse disegnare degli 8 sempre piu piccoli negli spazi vuoti degli 8 piu grandi. Comunque dovrebbe cambiare poco, nel senso che invece dei rettangoli basta prendere un qualunque sottoinsieme aperto di \( \mathbb{R}^2 \) ? E la domanda quanti 8 si possono disegnare (indipendentemente dal fatto che siano congruenti o meno), equivale a chiedersi, data una qualunque collezione \( (A_{\alpha})_{\alpha \in I } \) di sottoinsiemi aperti e a due a due disgiunti di \( \mathbb{R}^2 \), se \( I \), l'insieme degli indici sia numerabile o meno. Allora siccome in ogni sottoinsieme aperto di \( \mathbb{R}^2 \) c'è sicuramente almeno una coppia \( (q_1,q_2) \in \mathbb{Q}^2 \) allora \( I \) è numerabile, e dunque gli \( 8 \) sono numerabili. O sbaglio?

[otta96]

E la domanda quanti 8 si possono disegnare (indipendentemente dal fatto che siano congruenti o meno), equivale a chiedersi, data una qualunque collezione \( (A_{\alpha})_{\alpha \in I } \) di sottoinsiemi aperti e a due a due disgiunti di \( \mathbb{R}^2 \), se \( I \), l'insieme degli indici sia numerabile o meno.

Non ho ben capito bene perché credi questa cosa.

Allora siccome in ogni sottoinsieme aperto di \( \mathbb{R}^2 \) c'è sicuramente almeno una coppia \( (q_1,q_2) \in \mathbb{Q}^2 \) allora \( I \) è numerabile, e dunque gli \( 8 \) sono numerabili. O sbaglio?

Il fatto che una famiglia di aperti non vuoti disgiunti sia al più numerabile vale in un qualsiasi spazio topologico separabile (tranquillo se non sai di cosa sto parlando non importa) per il motivo che hai detto tu, in particolare in $RR^2$.

[3m0o]

Non ho ben capito bene perché credi questa cosa.

Per il fatto che se gli 8 non possono toccarsi allora posso sempre prendere un sottoinsieme di \( \mathbb{R}^2 \) che ne contiene solo 1.

[otta96]

Dici? E se ne prendo uno inscritto in ogni rettangolo del tipo $[-1,1]\times[1/(2n), 1/(2n+1)], n\inNN$ e poi uno inscritto in $[-1,1]\times[-1,0]$? Come fai a prendere un aperto che ti contenga l'"8" sotto e non intersechi nessuno degli altri? È impossibile, ogni aperto che lo contiene conterrà lo $(0,0)$, quindi intersecherà infiniti degli altri (addirittura tutti tranne un numero finito, addirittura si può fare in modo che invece di intersecarli e basta li include, semplicemente prendendo l'"8" inscritto in $[-1/n, 1/n]\times[1/(2n), 1/(2n+1)]$).
Devi stare un po' più attento quando fai certe affermazioni…
P.S. Spero che si capisca cosa intendo con "8" inscritto in un rettangolo, mi sta fatica spiegarlo

[3m0o]

Magari mi sbaglio terribilimente, con \( B_i \) denotiamo l'insieme dei punti che formano un certo 8 e dove \( i \in I \) è l'insieme che indicizza tutti gli 8 sul piano, per ogni punto \( p = (x,y) \in B_i \) prendiamo \( \delta_p := \min_{j \in I \setminus \{ i \} } \{ d(p,q); \forall q \in B_j \} \), dove \( d(\cdot,\cdot) \) è una distanza e costruiamo per il punto \( p \in B_i \) il segmento \( s_p:= ]p -\frac{\delta_p}{3} e_{\perp} ,p +\frac{\delta_p}{3} e_{\perp}[\) lungo la direzione \( e_{\perp} \) che è il vettore perpendicolare alla tangente del 8 nel punto \( p \), e consideriamo per il nostro 8 formato dai punti \( B_i \) il sottoinsieme di \( \mathbb{R}^2\), \[ A_i := \bigcup_{p \in B_i}s_p \]
Sbaglio o \( A_i \) è un aperto? Vero non ricoporono necessariamente \( \mathbb{R}^2 \) ma non è necessario.

Insomma magari l'ho scritto male ma considero un insieme aperto che è "a forma" di 8 e include solo un 8... a me sembrava che funzioni, non so dove sbaglio altrimenti.


O in alternativa ai segmenti credo che potremmo prendere anche i dischi aperti \( D(p, \frac{\delta_p}{3} ) \) e prendere \( A_i := \bigcup_{p \in B_i}D(p, \frac{\delta_p}{3} ) \)

[otta96]

Chi ti dice che $\delta_p$ sia ben definito? Chi ti dice che se ci metti l'inf al posto del minimo (che anche in quel modo andrebbe bene) questo inf sia positivo? È tutto qui il problema.