Help (errori) esame di Geometria

[Tower01]

Salve, ho fatto l'esame di Geometria. Ho sbagliato qualcosina nella prova teorica e volevo capire dove stanno gli errori (prima dell'orale). Intanto vi ringrazio anticipatamente perché questo forum mi ha aiutato a capire i miei problemi e dove mi bloccavo.

I miei errori sono stati soltanto questi (scusate se posso sembrare banali )

1) Nell'enunciato della base invece di scrivere $B = {v1, v2... vn}$ ho scritto $B = {v1 + v2+... +vn}$.
Mi rendo conto dell'errore basilare ma volevo capire cosa significa esattamente quello che ho scritto. Perché non è neanche combinazione lineare.
2) Un secondo errore è stato sull'applicazione lineare iniettiva $L: R^3 -> R^4$. So che il $KerL= 0$
L'errore è stato sull'esempio, perché ho scritto una matrice 4x4 con rango 3. Ora non capisco come devo considerare gli spazi. Dovevo scrivere una matrice 3x3? oppure 3x4?
3) Nell'ultimo errore vi mando direttamente una foto perché anche facendo le prove degli anni passati (o precedenti appelli) non ho ancora capito come devo ragionare.

Vi ringrazio per l'aiuto.

[gugo82]

1) Nell'enunciato della base invece di scrivere $B = {v1, v2... vn}$ ho scritto $B = {v1 + v2+... +vn}$.
Mi rendo conto dell'errore basilare ma volevo capire cosa significa esattamente quello che ho scritto. Perché non è neanche combinazione lineare.

Spiega tu perché ritieni che sia sbagliato.

2) Un secondo errore è stato sull'applicazione lineare iniettiva $L: R^3 -> R^4$. So che il $KerL= 0$
L'errore è stato sull'esempio, perché ho scritto una matrice 4x4 con rango 3. Ora non capisco come devo considerare gli spazi. Dovevo scrivere una matrice 3x3? oppure 3x4?

Indovina…

3) Nell'ultimo errore vi mando direttamente una foto perché anche facendo le prove degli anni passati (o precedenti appelli) non ho ancora capito come devo ragionare.

Diciamo che tutte e tre le questioni che poni mi conducono direttamente ad alcune domande.
Le elenco in ordine: hai studiato la teoria? Hai capito quel che stai facendo? Hai capito che la teoria ha una controparte geometrica facilmente rappresentabile graficamente (almeno fino alla dimensione 3)?

[Tower01]

1) Nell'enunciato della base invece di scrivere $B = {v1, v2... vn}$ ho scritto $B = {v1 + v2+... +vn}$.
Mi rendo conto dell'errore basilare ma volevo capire cosa significa esattamente quello che ho scritto. Perché non è neanche combinazione lineare.

Spiega tu perché ritieni che sia sbagliato.

2) Un secondo errore è stato sull'applicazione lineare iniettiva $L: R^3 -> R^4$. So che il $KerL= 0$
L'errore è stato sull'esempio, perché ho scritto una matrice 4x4 con rango 3. Ora non capisco come devo considerare gli spazi. Dovevo scrivere una matrice 3x3? oppure 3x4?

Indovina…

3) Nell'ultimo errore vi mando direttamente una foto perché anche facendo le prove degli anni passati (o precedenti appelli) non ho ancora capito come devo ragionare.

Diciamo che tutte e tre le questioni che poni mi conducono direttamente ad alcune domande.
Le elenco in ordine: hai studiato la teoria? Hai capito quel che stai facendo? Hai capito che la teoria ha una controparte geometrica facilmente rappresentabile graficamente (almeno fino alla dimensione 3)?

Ci provo.
1. Ho scritto la somma dei vettori ed ovvio che sia sbagliato perché la base di uno spazio vettoriale è un'insieme di vettori grazie ai quali possiamo ricostruire in modo unico tutti i vettori dello spazio tramite combinazione lineare. $Es: {v1, v2, v3, v1+v2, v1+v3, v2+v3}$

2. Io prendevo sempre $R^4$ come riferimento della iniettività per fare l'esempio. Come per esempio per la suriettività $R^4 -> R^3$ costruivo una matrice 4x4 con rango 3. Ma a questo punto credo che sia sbagliato il ragionamento e dovevo considerare una matrice 3x3. Mentre nel caso della suriettività un matrice 4x4.

3. Ti rispondo in ordine.
Si, ho studiato la teoria e in tutte le domande ho sbagliato solo queste tre risposte.
In che senso quello che sto facendo?
Si, certo.

[Tower01]

Il terzo quesito riguarda un teorema dello span o sbaglio?

[gugo82]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

1) Nell'enunciato della base invece di scrivere $B = {v1, v2... vn}$ ho scritto $B = {v1 + v2+... +vn}$.
Mi rendo conto dell'errore basilare ma volevo capire cosa significa esattamente quello che ho scritto. Perché non è neanche combinazione lineare.

Spiega tu perché ritieni che sia sbagliato.

2) Un secondo errore è stato sull'applicazione lineare iniettiva $L: R^3 -> R^4$. So che il $KerL= 0$
L'errore è stato sull'esempio, perché ho scritto una matrice 4x4 con rango 3. Ora non capisco come devo considerare gli spazi. Dovevo scrivere una matrice 3x3? oppure 3x4?

Indovina…

3) Nell'ultimo errore vi mando direttamente una foto perché anche facendo le prove degli anni passati (o precedenti appelli) non ho ancora capito come devo ragionare.

Diciamo che tutte e tre le questioni che poni mi conducono direttamente ad alcune domande.
Le elenco in ordine: hai studiato la teoria? Hai capito quel che stai facendo? Hai capito che la teoria ha una controparte geometrica facilmente rappresentabile graficamente (almeno fino alla dimensione 3)?

Ci provo.
1. Ho scritto la somma dei vettori ed ovvio che sia sbagliato perché la base di uno spazio vettoriale è un'insieme di vettori grazie ai quali possiamo ricostruire in modo unico tutti i vettori dello spazio tramite combinazione lineare. $Es: {v1, v2, v3, v1+v2, v1+v3, v2+v3}$

L’esempio non è un esempio.
Quella roba lì potrebbe essere tutto o nulla.

Ti conviene tornare a studiare seriamente almeno le definizioni (e che vuol dire fare un esempio).

2. Io prendevo sempre $R^4$ come riferimento della iniettività per fare l'esempio. Come per esempio per la suriettività $R^4 -> R^3$ costruivo una matrice 4x4 con rango 3. Ma a questo punto credo che sia sbagliato il ragionamento e dovevo considerare una matrice 3x3. Mentre nel caso della suriettività un matrice 4x4.

E ciò avvalora la mia tesi.

Sembri non avere la più pallida idea di cosa tu stia facendo.

3. Ti rispondo in ordine.
Si, ho studiato la teoria e in tutte le domande ho sbagliato solo queste tre risposte.

Hai imparato la teoria, forse, ma i discorsi che fai dimostrano che non l’hai studiata.

In che senso quello che sto facendo?

Nel senso, “quello che stai facendo” quando (ad esempio) rappresenti in coordinate un’applicazione lineare con una matrice.

Si, certo.

E perché non fai un disegno?

[vict85]

Sinceramente, mi sembrano degli errori piuttosto gravi. Insomma, non mi sembra tu sia pronto per l'orale.

Potrai aver sbagliato solo quello, ma la dimensione della matrice associata ad una applicazione lineare è un concetto fondamentale. Se \(f\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4\) allora la matrice associata è una matrice \(4\times 3\). Per capire perché la dimensione è "invertita" devi considerare che la composizione si fa per moltiplicazione a sinistra e il vettore colonna del dominio di trova a destra della matrice. Insomma vedila così: \((4\times 3)(3\times 1) = (4\times 1)\). Non mi metto ad entrare troppo nel dettaglio, ma se non sai la dimensione della matrice, come puoi capire come costruirne una?

La stessa cosa vale per la base, anche se quell'errore potrebbe anche visto come una scarsa attenzione alla notazione.

Venendo al problema 3, il fatto che tu abbia sbagliato tutto, vuol dire che il concetto di indipendenza tra vettori non ti è per niente chiaro. Per esempio, se \(\mathbf{u}_1 = \mathbf{u}_2 = (1, 0, \dotsc,0)\) e \(\mathbf{u}_3 = (0, 1, \dotsc,0)\) allora \(\dim \mathrm{Span}(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3) = 2\) e certo \(\mathbf{u}_3\notin \mathrm{Span}(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2) = \mathbb{R}\mathbf{u}_1\). Gli stessi 3 vettori sono un controesempio dell'ultimo punto.

Sincemente, mi viene anche difficile capire cosa tu abbia capito dell'algebra lineare. Perché l'impressione è che la tua comprensione sia lacunosa e potenzialmente piena di errori e fraintendimenti.

[Tower01]

Sinceramente, mi sembrano degli errori piuttosto gravi. Insomma, non mi sembra tu sia pronto per l'orale.

Potrai aver sbagliato solo quello, ma la dimensione della matrice associata ad una applicazione lineare è un concetto fondamentale. Se \(f\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4\) allora la matrice associata è una matrice \(4\times 3\). Per capire perché la dimensione è "invertita" devi considerare che la composizione si fa per moltiplicazione a sinistra e il vettore colonna del dominio di trova a destra della matrice. Insomma vedila così: \((4\times 3)(3\times 1) = (4\times 1)\). Non mi metto ad entrare troppo nel dettaglio, ma se non sai la dimensione della matrice, come puoi capire come costruirne una?

La stessa cosa vale per la base, anche se quell'errore potrebbe anche visto come una scarsa attenzione alla notazione.

Venendo al problema 3, il fatto che tu abbia sbagliato tutto, vuol dire che il concetto di indipendenza tra vettori non ti è per niente chiaro. Per esempio, se \(\mathbf{u}_1 = \mathbf{u}_2 = (1, 0, \dotsc,0)\) e \(\mathbf{u}_3 = (0, 1, \dotsc,0)\) allora \(\dim \mathrm{Span}(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3) = 2\) e certo \(\mathbf{u}_3\notin \mathrm{Span}(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2) = \mathbb{R}\mathbf{u}_1\). Gli stessi 3 vettori sono un controesempio dell'ultimo punto.

Sincemente, mi viene anche difficile capire cosa tu abbia capito dell'algebra lineare. Perché l'impressione è che la tua comprensione sia lacunosa e potenzialmente piena di errori e fraintendimenti.

Ciao, si avevo un po' di confusione sul concetto di Span, indipendenza e dipendenza (e applicazioni lineari) infatti sto riprendendo tutto da 0 facendo anche gli esempi grafici.

Andando direttamente al punto 3. (Le applicazioni lineari le ri-vedrò dopo)
- La prima richiesta ho capito il perché.
- Nella seconda, se il vettore u3 che non appartiene allo span, per definizione è linearmente indipendente. Allora perché la dim Span (u1, u2, u3) non è uguale a 2? Perché potrebbe essere che sono tutti paralleli quindi rappresentano una retta passante per l'origine e di conseguenza la dim span = 1?
- La terza richiesta vien da sé a questo punto che u3 non è in combinazione lineare con u1 e u2, quindi linearmente indipendente (non appartiene allo span). Altrimenti è possibile rappresentarlo come multiplo di uno dei due vettori.
- Anche questa quarta richiesta ho difficoltà a inquadrarla.

[Bokonon]

- Nella seconda, se il vettore u3 che non appartiene allo span, per definizione è linearmente indipendente. Allora perché la dim Span (u1, u2, u3) non è uguale a 2? Perché potrebbe essere che sono tutti paralleli quindi rappresentano una retta passante per l'origine e di conseguenza la dim span = 1?

Ma come ragioni?
Data l'informazione $dim span(u_1, u_2, u_3)=2$ sai per certo che un vettore è comb.lineare degli altri 2.
(Hai scritto di aver capito il punto 1, no?)
La domanda è "è sempre vero che $u_3inspan(u_1,u_2)$?"
Se $u_3=au_1+bu_2$ è evidente che soddisfa tesi (e al contempo sappiamo che $u_1!=ku_2$, altrimenti $dim span(u_1, u_2, u_3)=1$)
Valuta altre casistiche compatibili con l'assunto e trovane una per cui la tesi sia falsa