Base di spazio topologico.

[3m0o]

Dimostra che le palle \(B(x,\delta)\) dove \( x \in \mathbb{Q}^n \) e \( \delta \in \mathbb{Q} \cap (0,\infty) \) sono una base per la topologia euclidea su \( \mathbb{R}^n \). Inoltre dimostra che gli elementi in questa base sono numerabili. Trova uno spazio metrico che non ha una base numerabile.

Allora io ho dimostrato in questo modo:
\( \forall x \in \mathbb{R}^n \), \( \exists B(\tilde{x},\delta) \) tale che \( x \in B(\tilde{x},\delta)\) siccome basta prendere \( \tilde{x}=(\tilde{x}_1,\ldots,\tilde{x}_n):= (\left \lfloor x_1 \right \rfloor, \ldots, \left \lfloor x_n \right \rfloor )\) e \( \delta = 1 \) allora abbiamo che \( x \in B(\tilde{x},\delta) \).
Inoltre per ogni \( B(x_1,\delta_1) , B(x_2,\delta_2) \) tale che \( x \in B(x_1,\delta_1) \cap B(x_2,\delta_2) \) esiste \( B(x_3,\delta_3) \) tale che \( B(x_3,\delta_3) \ni x \) e \( B(x_3,\delta_3) \subset B(x_1,\delta_1) \cap B(x_2,\delta_2) \).
Siccome \( B(x_1,\delta_1), B(x_2,\delta_2) \) sono aperti allora anche la loro intersezione lo è, allora possiamo scegliere un \( \delta \in \mathbb{R} \) tale che \( B(x,\delta) \subset B(x_1,\delta_1) \cap B(x_2,\delta_2)\) e dentro \( B(x,\delta ) \) esiste sicuramente per densità di \( \mathbb{Q} \) in \( \mathbb{R} \) un \( q \in \mathbb{Q}^n \) tale che \( q \in B(x,\delta ) \) e tale che \( d(q,x)<\frac{\delta}{3} \), pertanto poniamo \( \delta_3:= \left \lfloor d(q,x) + \epsilon \right \rfloor \) con \( \epsilon >0 \) sufficientemente piccolo e \( x_3= q \).
Sia pertanto \( \tau^B \) tale base, abbiamo che \( \operatorname{card}(\tau^B)= \operatorname{card}(\mathbb{Q}^{n+1}) \) pertanto è numerabile.

Mi chiedevo innanzitutto se va bene, e in secondo luogo non vedo l'informazione della topologia, nel senso uno spazio topologico è \( ( \mathbb{R}^n, \tau ) \) ma qui non ho usato la topologia \( \tau \)... pertanto sarebbe una base di ogni spazio topologico su \( \mathbb{R}^n \)??

[otta96]

Infatti quello che hai fatto non va bene, quello che hai dimostrato è che è una base per UNA topologia, ti era stato richiesto di dimostrare che è una base per la topologia euclidea. Quello che devi fare è fissare un punto a caso, considerare un generico aperto (per la topologia euclidea) che contiene quel punto e dimostrare che esiste un aperto della (presunta) base che contiene il punto ed è inclusa nell'aperto.
È così in generale che si procede per dimostrare che qualcosa è una base per una topologia assegnata.
Poi comunque il grosso lo hai fatto però prova a riscrivere la dimostrazione con queste nuove informazioni.

[otta96]

Poi hai capito?

[3m0o]

Sni...
Allora usando la topologia euclidea abbiamo che
\( \mathbb{Q}^n \) è denso dentro \( \mathbb{R}^n \) e pertanto per tutti gli \( x \in \mathbb{R}^n \) esiste un \( x \in B(y,1) \). Siano ora \( y_1,y_2 \in \mathbb{Q}^n \) e \( \delta_1, \delta_2 \in \mathbb{Q} \cap (0,\infty) \). Fissiamo \( x \in B(y_1,\delta_1) \cap B(y_2, \delta_2) \) e cerchiamo \( y_3 \in \mathbb{Q}^n \) e un \( \delta_3 \in \mathbb{Q} \cap (0,\infty) \) tale che \( x \in B(y_3,\delta_3) \subset B(y_1,\delta_1) \cap B(y_2, \delta_2) \).
Abbiamo che \( \begin{vmatrix} x- y_1 \end{vmatrix} < \delta_1 \) e \( \begin{vmatrix} x- y_2 \end{vmatrix} < \delta_2 \). Pertanto sia \( \delta_3 \) un numero razionale tale che \( \delta_3 < \frac{1}{3} \min\{\delta_1 -\begin{vmatrix} x- y_1 \end{vmatrix}, \delta_2 - \begin{vmatrix} x- y_2 \end{vmatrix} \} \) e scegliamo \( y_3 \in \mathbb{Q}^n \) tale che \( \begin{vmatrix} x- y_3 \end{vmatrix} \leq \delta_3 \), dunque \( x \in B(y_3, \delta_3 )\). Consideriamo ora un arbitrario \( z \in B(y_3, \delta_3 )\) abbiamo che, con \( i = 1,2 \)
\[ \begin{vmatrix} z-y_i\end{vmatrix} \leq \begin{vmatrix} z-y_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} y_3-x \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x- y_i \end{vmatrix} \leq 2 \delta_3 + \begin{vmatrix} x- y_i \end{vmatrix} \leq \frac{1}{3}(\delta_i - \begin{vmatrix} x- y_i \end{vmatrix}) + \begin{vmatrix} x- y_i \end{vmatrix}\]
\[ < \delta_i - \begin{vmatrix} x- y_i \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x- y_i \end{vmatrix} = \delta_i \]
E dunque \( z \in B(y_1,\delta_1) \) e \( z \in B(y_2,\delta_2 )\) pertanto
\( x \in B(y_3,\delta_3) \subset B(y_1,\delta_1) \cap B(y_2, \delta_2) \) e dunque è una base per \( \mathbb{R}^n \) con la topologia euclidea.

Come ho fatto prima dimostra che è una base per una topologia, dunque anche per la topologia euclidea, no?

PS: scusa rispondo in ritardo, perché non ci ho pensato prima, visto che ho dedicato gli ultimi 5 giorni ad analisi complessa

[otta96]

Allora usando la topologia euclidea abbiamo che \( \mathbb{Q}^n \) è denso dentro \( \mathbb{R}^n \) e pertanto per tutti gli \( x \in \mathbb{R}^n \) esiste un \( x \in B(y,1) \).

Che volevi dire con questo? Non ha senso…
Comunque non ho letto proprio tutto in dettaglio ma in linea generale mi sembra che hai fatto bene.

[3m0o]

Allora usando la topologia euclidea abbiamo che \( \mathbb{Q}^n \) è denso dentro \( \mathbb{R}^n \) e pertanto per tutti gli \( x \in \mathbb{R}^n \) esiste un \( x \in B(y,1) \).

Che volevi dire con questo? Non ha senso…
Comunque non ho letto proprio tutto in dettaglio ma in linea generale mi sembra che hai fatto bene.

Lol
" Allora usando la topologia euclidea abbiamo che " = = "Okay, mi dici che devo usare la topologia euclidea... quindi vediamo se così funziona"

Per l'altra ho dimenticato di scrivere un pezzo

\( \mathbb{Q}^n \) è denso dentro \( \mathbb{R}^n \) e pertanto per tutti gli \( x \in \mathbb{R}^n \) esiste un \( x \in B(y,1) \).

\( \mathbb{Q}^n \) è denso dentro \( \mathbb{R}^n \) e pertanto per tutti gli \( x \in \mathbb{R}^n \) esiste almeno un \( y \in \mathbb{Q}^n \) tale che \( x \in B(y,1) \). Pertanto l'unione di tutte le palle razionali copre \( \mathbb{R}^n \)
\[ \bigcup\limits_{y \in \mathbb{Q}^n} B(y,1) = \mathbb{R}^n\]

Come ho fatto prima dimostra che è una base per una topologia, dunque anche per la topologia euclidea, no?