Dimostra che le palle \(B(x,\delta)\) dove \( x \in \mathbb{Q}^n \) e \( \delta \in \mathbb{Q} \cap (0,\infty) \) sono una base per la topologia euclidea su \( \mathbb{R}^n \). Inoltre dimostra che gli elementi in questa base sono numerabili. Trova uno spazio metrico che non ha una base numerabile.
Allora io ho dimostrato in questo modo:
\( \forall x \in \mathbb{R}^n \), \( \exists B(\tilde{x},\delta) \) tale che \( x \in B(\tilde{x},\delta)\) siccome basta prendere \( \tilde{x}=(\tilde{x}_1,\ldots,\tilde{x}_n):= (\left \lfloor x_1 \right \rfloor, \ldots, \left \lfloor x_n \right \rfloor )\) e \( \delta = 1 \) allora abbiamo che \( x \in B(\tilde{x},\delta) \).
Inoltre per ogni \( B(x_1,\delta_1) , B(x_2,\delta_2) \) tale che \( x \in B(x_1,\delta_1) \cap B(x_2,\delta_2) \) esiste \( B(x_3,\delta_3) \) tale che \( B(x_3,\delta_3) \ni x \) e \( B(x_3,\delta_3) \subset B(x_1,\delta_1) \cap B(x_2,\delta_2) \).
Siccome \( B(x_1,\delta_1), B(x_2,\delta_2) \) sono aperti allora anche la loro intersezione lo è, allora possiamo scegliere un \( \delta \in \mathbb{R} \) tale che \( B(x,\delta) \subset B(x_1,\delta_1) \cap B(x_2,\delta_2)\) e dentro \( B(x,\delta ) \) esiste sicuramente per densità di \( \mathbb{Q} \) in \( \mathbb{R} \) un \( q \in \mathbb{Q}^n \) tale che \( q \in B(x,\delta ) \) e tale che \( d(q,x)<\frac{\delta}{3} \), pertanto poniamo \( \delta_3:= \left \lfloor d(q,x) + \epsilon \right \rfloor \) con \( \epsilon >0 \) sufficientemente piccolo e \( x_3= q \).
Sia pertanto \( \tau^B \) tale base, abbiamo che \( \operatorname{card}(\tau^B)= \operatorname{card}(\mathbb{Q}^{n+1}) \) pertanto è numerabile.
Mi chiedevo innanzitutto se va bene, e in secondo luogo non vedo l'informazione della topologia, nel senso uno spazio topologico è \( ( \mathbb{R}^n, \tau ) \) ma qui non ho usato la topologia \( \tau \)... pertanto sarebbe una base di ogni spazio topologico su \( \mathbb{R}^n \)??