Prendiamo $[0,1]$ con la topologia euclidea.
Sappiamo che $QQ nn [0,1]$ è denso in $[0,1]$.
Fatto (che intuitivamente mi sembra vero)
Data una qualsiasi numerazione di $QQ nn [0,1]={q_1,q_2,...}$
Data una quasiasi successione a termini reali positivi ${\delta_n}_{n in NN}$
Considero $I_n=(q_n-\delta_n,q_n+\delta_n)$
La famiglia ${I_n}_{n in NN}$ è un ricoprimento di $[0,1]$.
Assumiamo vero il fatto sopra e consideriamo $\delta_n=\epsilon*2^(-n-1)$ con $\epsilon >0$ reale
Siccome $[0,1]$ è compatto, estraggo sottoricoprimento finito $I_(j_1),...,I_(j_n)$
Ora sia $N$ il più grande tra gli indici $j_i$.
Se questo fosse un ricoprimento la sua misura (consideriamo pure Peano Jordan) dovrebbe essere $>=1$
(Infatti per monotonia $[0,1]\subsetI_(j_1)uu...uuI_(j_n) => 1<=\mu(I_(j_1)uu...uuI_(j_n))$)
Invece ho $\mu(I_(j_1)uu...uuI_(j_n))<=\sum_(n=1)^N 2*\delta_n<=\sum_(n=1)^\infty \epsilon*2^(-n)=\epsilon$.
Quindi il Fatto deve essere falso (cioè la famiglia degli $I_n$ non è un ricoprimento in generale) e la cosa mi disturba molto.
Insomma mi sembra di separare i razionali l'uno dall'altro.
Qualcuno può darmi delucidazioni sulla faccenda? Sono molto confuso