Topologia cofinita su insieme infinito non è di Hausdorff

Messaggioda 3m0o » 08/10/2019, 18:51

Esercizio:
Cos'è una topologia co-finita su un insieme finito? Dimostra che una topologia co-finita su un insieme infinito non è Hausdorff.

Allora sia \( (X,\tau_F ) \) uno spazio topologico dove \( \tau_F \) è una topologia co-finita e \( X \) è finito. Abbiamo che \( \forall U \subset X \) allora \( U \in \tau_F \) se e solo se \( X \setminus U \) è finito, pertanto \( \tau_F = \mathcal{P}(X) \) e pertanto è \( (X,\tau_F) \) è una topologia discreta. Quindi evidentemente è di Hausdorff.
Avete qualche suggerimento su come posso dimostrare che se \( X \) è infinito allora non è di Hausdorff?
Edit: cioé intuitivamente ci sono nel senso che ogni insieme tale che \( x_1 \in U_1 \) e \( x_2 \in U_2 \) aperti (quindi dentro la topologia), allora siccome \( X \setminus U_1 \) e \( X \setminus U_2 \) sono finiti, vuol dire che \( U_1 \cap U_2 \neq \emptyset \), però non riesco a dimostrarlo in modo formale e preciso!
In generale:
Sbaglio o una topologia è un modo per definire cosa vuol dire insieme aperto su un insieme \(X \)?
È vero che ogni sottoinsieme di \( X \) aperto è dentro la topologia, e tutti gli elementi della topologia sono aperti?
Immagino che una topologia da molte piu informazioni e non solo cosa si intende per aperto, vero?
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Re: Topologia cofinita su insieme infinito non è di Hausdorff

Messaggioda vict85 » 08/10/2019, 19:39

La topologia cofinita su uno spazio finito \(X\) è equivalente alla topologia discreta sullo stesso. Quindi ha poco senso parlare di topologia cofinita su uno spazio finito.

Venendo al caso infinito. Uno spazio è di Haudorff se presi due punti qualsiasi \(x, y \in X\), esiste un intorno aperto \(U\) di \(x\) e un intorno aperto \(V\) di \(y\), tali che \(U\cap V = \emptyset \).

Consideriamo quindi un intorno qualsiasi \(U\) di \(x\) e un intorno qualsiasi \(V\) di \(y\). Il risultato deriva dal fatto che \((U\cap V)^{\complement} = U^{\complement}\cup V^{\complement} \neq X\) (siccome l'unione di insiemi finiti è un insieme finito).
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Re: Topologia cofinita su insieme infinito non è di Hausdorff

Messaggioda 3m0o » 08/10/2019, 19:48

vict85 ha scritto:La topologia cofinita su uno spazio finito \(X\) è equivalente alla topologia discreta sullo stesso. Quindi ha poco senso parlare di topologia cofinita su uno spazio finito.

L'esercizio era posto in questi termini, chiedeva esplicitamente cos'è una topologia cofinita su uno spazio finito. E appunto anche io sono arrivato alla conclusione che è equivalente alla topologia discreta.


vict85 ha scritto:Consideriamo quindi un intorno qualsiasi \(U\) di \(x\) e un intorno qualsiasi \(V\) di \(y\). Il risultato deriva dal fatto che \((U\cap V)^{\complement} = U^{\complement}\cup V^{\complement} \neq X\) (siccome l'unione di insiemi finiti è un insieme finito).


Caspita che scemo non avevo pensato che il complementare di \( \emptyset \) in \( X \) è \( X \) e provando che il complementare dell'intersezione è diverso da \( X \) mostri che l'intersezione è differente dal emptyset... effettivamente è facile... grazie mille!
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Re: Topologia cofinita su insieme infinito non è di Hausdorff

Messaggioda otta96 » 08/10/2019, 20:37

3m0o ha scritto:Sbaglio o una topologia è un modo per definire cosa vuol dire insieme aperto su un insieme \(X \)?
È vero che ogni sottoinsieme di \( X \) aperto è dentro la topologia, e tutti gli elementi della topologia sono aperti?
Immagino che una topologia da molte piu informazioni e non solo cosa si intende per aperto, vero?

Se hai una topologia assegnata su un insieme, gli insiemi aperti sono PER DEFINIZIONE gli elementi della topologia, quindi assegnare una topologia è esattamente come dire quali insiemi si considerano aperti.
P.S. Gli spazi come la cofinita su un insieme infinito che sono tali che ogni coppia di aperti non vuoti si intersecano si chiamano spazi iperconnessi. Dimostra che una funzione continua da uno spazio iperconnesso ad uno spazio $T_2$ è necessariamente costante.
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