Funzione continua che non manda aperti in aperti.

[3m0o]

1) Trova una funzione continua \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) che non mappa insiemi aperti ad insiemi aperti. 2) Trova inoltre una funzione \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), tale che \( f(U) \) è aperto per tutti gli insiemi \( U \) aperti, ma \( f \) non è continua.

Per il 1)
Può andar bene \( id : (\mathbb{R},\tau_D) \to (\mathbb{R},\tau_I) \) , dove \( \tau_D \) è la topologia discreta mentre \( \tau_I \) la topologia indiscreta. Perché abbiamo che \( \mathbb{R} \) è aperto nella topologia indiscreta e dunque \( id^{-1} (\mathbb{R} ) = \mathbb{R} \) è aperto nella topologia discreta. Allo stesso modo \( \emptyset \) è aperto nella topologia indiscreta e \( id^{-1} (\emptyset ) = \emptyset\). Mentre invece ad esempio \( \{a\} \) è aperto nella topologia discreta mentre \( f(\{a\}) \) è chiuso nella topologia indiscreta.

Per il 2)
\( id : (\mathbb{R},\tau_I) \to (\mathbb{R},\tau_D) \), per un ragionamento analogo al punto 1) soddisfa la richiesta del 2)

vi sembra funzionare? Mi sembra strano che basta cambiare la topologia e la stessa funzione diviene continua o non continua.

[vict85]

Per 1), penso che tu debba usare la topologia standard in entrambi. Un esempio è la funzione \(0\colon x\mapsto 0\). Infatti, la funzione è banalmente continua, ma l'immagine di ogni aperto è un chiuso. O anche le funzioni \(\sin\), \(\cos\) o \(x^2\) per scelte opportune di aperti.

Per 2) ci devo pensare.

[otta96]

Anche secondo me devi considerare sia nel dominio che nel codominio la topologia euclidea.

\( f(\{a\}) \) è chiuso nella topologia indiscreta.

Questo non è vero. Gli unici chiusi della topologia indiscreta sono $RR, \emptyset$ e $f({a})$ non è nessuno dei due.

[3m0o]

Anche secondo me devi considerare sia nel dominio che nel codominio la topologia euclidea.

\( f(\{a\}) \) è chiuso nella topologia indiscreta.

Questo non è vero. Gli unici chiusi della topologia indiscreta sono $RR, \emptyset$ e $f({a})$ non è nessuno dei due.

Hai ragione volevo dire non è aperto. Perché gli unici aperti sono \( \mathbb{R} \) e \( \emptyset \).

Edit: okay probabilmente devo utilizzare la topologia euclidea, però nel caso in cui io non debba necessariamente utilizzare quella euclidea (o comunque non la stessa topologia) i miei esempi vanno bene?

[otta96]

nel caso in cui io non debba necessariamente utilizzare quella euclidea i miei esempi vanno bene?

Si, a parte la cosa che ti ho già segnalato.

[3m0o]

Stavo leggendo online delle funzioni "strongly Darboux" questa è la definizione che ho trovato in merito, e ho trovato anche una cosa che potrebbe servire.
Se \( X \) e \( Y \) sono spazi topologici, una funzione \( f: X \to Y \) è detta "strongly Darboux" se e solo se per ogni insieme non vuoto e aperto \( A \subseteq X \) abbiamo che \( f(A)=Y \).
Chiaramente una funzione fatta in questo modo è una funzione aperta. Inoltre è suriettiva poiché \( f(X)=Y\), se \( X \) non vuoto.
Se \( X \) è non vuoto e \( f : X \to Y \) è strongly Darboux ed è continua, allora \( Y \) è munita della topologia indiscreta. La dimostrazione che ho trovato di questa proposizione è
Sia \( A \subseteq Y \) non vuoto, e aperto. Siccome \( f \) suriettiva abbiamo che \( f^{-1}(A) \subset X \) non è vuoto, ed è aperto per continuità di \( f \). Pertanto \( f(f^{-1}(A))=Y \), e inoltre \( f(f^{-1}(A))=A\), dunque \( A = Y \).


Quindi basta trovare una funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) che è "strongly Darboux"... giusto?