problema con matrice diagonalizzante

[robarri99]

ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:
"Si consideri la matrice Ak \( \begin{pmatrix} k & 1 & 0 \\ 4 & k & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \) , dove k è un parametro reale. Si determinino:
- i valori di k per cui Ak è diagonalizzabile
- posto k=4, una matrice D diagonale simile ad A4 e la relativa teoria diagonalizzante P"

svolgimento:
per il primo punto faccio la cerco gli autoalori di Ak, faccio la matrice \( \begin{pmatrix} k-\lambda & 1 & 0 \\ 4 & k-\lambda & 0 \\ 2 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} \) e arrivo ad avere $(2-\lambda)[(k-\lambda)-4]$va sviluppato per togliere il $-$ ma mi si crea un calcolo impossibile

per il secondo punto, metto gli autovalori trovati sulla diagonale (e altrove metto 0) e trovo D, per p... so la teoria, ma i calcoli non tornano mai, qualcuno potrebbe farmi vedere nel dettaglio gli svolgimenti senza dare nulla per scontato? mi trovo in difficolta in ogni esercizio con queste richieste... grazie mille in anticipo

[Bokonon]

e arrivo ad avere $(2-\lambda)[(k-\lambda)-4]$va sviluppato per togliere il $-$ ma mi si crea un calcolo impossibile

Cominciamo da qua.
Il polinomio caratteristico che hai scritto è sbagliato. Rifai il calcolo, scrivi quello giusto e poi discuti per quali valori di k la matrice è diagonalizzabile e perchè.

[robarri99]

mi sono dimenticato di mettere elevato alla 2 il $k-\lamda$... cosa che nel foglio ho fatto
ora sono nuovamente punto a capo

[Bokonon]

Trova gli autovalori di $(2-lambda)[lambda^2-2klambda+(k^2-4)]=0$

[robarri99]

è altrettanto difficile farti capire che mi blocco a quel punto.
se lo sviluppo mi si incasinano i conti

[Bokonon]

Stai davvero dicendo che non sai risolvere un'equazione di secondo grado?
$(2-lambda)[lambda^2-2klambda+(k^2-4)]=0$

[robarri99]

allora, partiamo con il concetto base che se uno scrive qui è perchè ha delle difficoltà e che se cerco di capire come si risolve un esercizio (sapendo la teoria ma non riusendo ad applicarla causa difficolta), si cerca, o almeno, si dovrebbe aiutare quella persona, non rimarcare 3 volte cosa fare e sfottere... poi veda lei. la ringrazio per il tempo speso per rispondermi in maniera cosi efficiente.
qualcuno potrebbe auitarmi cortesemente?

[robarri99]

sviluppo e risulta \( \lambda ^2-2\lambda \kappa +\kappa ^2-4 \)
visto che mi serve solo trovare il valore di \( \lambda \), la raccolgo e trovo \( \lambda (\lambda -2\kappa ) \) e tralascio \( k^2-4 \) e risulta \( \lambda 1 = 0 \) e \( \lambda 2 = 2k \) svolgendo anche la prima parentesi (ovvero ( \( 2- \lambda \) )) trovo \( \lambda3 = 2 \)
ora faccio \( \lambda3 \neq \lambda 1 \) e faccio i paragoni eguagliando \( \lambda2 \) con \( \lambda1 \) e \( \lambda3 \)
risulta \( \kappa =0 \) con \( \lambda = 0 \) e \( \kappa =1 \) con \( \lambda =2 \)
faccio le due matrici con le 2 diverse casisitiche per vedere se \( mg = ma \) e vedere per quale valore di k è diagonalizzabile

ad ogni modo, ho chiesto aiuto sapendo la teoria ed esponendola, cosa ho sbagliato? le regole del forum le ho rispettate

[Bokonon]

@robarri99 Non sto sfottendo, sono incredulo. Immagino tu sia un universitario, quindi si da per scontato che tu sappia risolvere un'equazione di secondo/terzo grado.
Nella mia testa ho pensato che il problema fosse "cosa fare dopo aver trovato le soluzioni".

Per risolvere questo tipo di problemi parametrici si segue il seguente processo logico.
Una matrice è diagonalizzabile al 100% quando il polinomio caratteristico ha 3 radici reali e distinte.
Quindi la prima cosa da fare è appunto trovare le radici in funzioni di k e determinare gli intervalli per cui il discriminante $b^2-4ac>=0$ Quindi devi sapere anche risolvere una disequazione di secondo grado.
In questo caso specifico il discriminante è sempre positivo, quindi qualsiasi sia il valore di k si ottengono tre radici reali.
Il passo successivo è controllare i valori di k per cui il polinomio caratteristico ha due radici (o tre) radici coincidenti. Questo perchè sono le uniche casistiche restanti per cui la matrice potrebbe non essere diagonalizzabile e quindi vanno identificati e discussi.

Ma ripeto, se il problema è a monte e non sai risolvere le equazioni/disequazioni di secondo grado allora il mio consiglio è dedicare una giornata a ripassarle. Poi possiamo riprendere e risolvere l'esercizio.

[robarri99]

i calcoli svolti sopra da me sono giusti quindi?