da Bokonon » 10/10/2019, 17:43
E' corretto, però se permetti qualche nota...
a) teoria diagonalizzante non l'ho mai sentito come termine e francamente non ha nemmeno senso. Immagino sia semplicemente una matrice composta dagli autovettori di $A_4$.
b) non era necessario ricalcolare gli autovalori di $A_4$. Bastava sostituire $k=4$ nelle soluzioni generali.
c) ti hanno insegnato il metodo per calcolare il rango con i determinanti...secondo me è pessimo: si perde solo tempo. Dato che dovevi verificare che il rango di $Rg[A_4-2I]=1$ e che al secondo punto ti chiede di trovarne gli autovettori, tanto vale risolvere direttamente il sistema omogeneo $[A_4-2I]v=0$ ovvero trovarne il kernel (che dovrà avere dimensione 2).
Usando Gauss-Jordan, basta un passaggio:
$ [A_4-2I]=( ( 2 , 1 , 0 ),( 4 , 2 , 0 ),( 2 , 1 , 0 ) ) rArr ( ( 2 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) ( ( v_x ),( v_y ),( v_z ) )=0$
Una base del kernel sono (per esempio) gli autovettori associati a $lambda=2$:
$v_1=(0,0,1)$ e $v_2=(1,-2,0)$
quindi m.a.=m.g., potevi affermare che $A_k$ è diagonalizzabile per $k!=0$ e avevi già fatto buona parte del lavoro.
E ti restava solo da trovare l'autovettore associato a $lambda=6$