Carte e aperti di $\mathbb{R}^n$

Sia $M$ un insieme e siano $(U,\varphi)$ e $(V,\psi)$ due n- carte, cioè $U$ è un sottoinsieme di $M$ e $\varphi:\U\to\varphi(U)$ un'applicazione bigettiva dove $\varphi(U)$ è un sottoinsieme aperto di $\mathbb{R}^n$.

Supponiamo di avere una n-carta $(W,\chi)$ compatibile con le due citate e supponiamo di voler mostrare che $(U,\varphi)$ e $(V,\psi)$ siano compatibili.

Il fatto che $(U,\varphi)$ e $(V,\psi)$ siano compatibili con $(W,\chi)$ implica quanto segue:

$\varphi(U\cap W)$, $\chi(U\cap W)$, $\psi(V\cap W)$ e $\chi(V\cap W)$ sono aperti di $\mathbb{R}^n$ e le due applicazioni

$$\chi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap W)\to\chi(U\cap W)\quad\text{e}\quad \psi\circ\chi^{-1}:\chi(V\cap W)\to\psi(U\cap W)$$ sono diffeomorfismi lisci.

(Tutte le intersezioni che compaioano sono non vuote.)

Non capisco il fatto seguente:

Come facciamo a dire che $\varphi(U\cap V\cap W)$ è un aperto di $\mathbb{R}^n$?

Naturalmente, $$\varphi(U\cap V\cap W)=\varphi(U\cap W)\cap \varphi(U\cap V)$$, quindi $\varphi(U\cap V\cap W)$ è un aperto in $\varphi(U\cap V)$, come concludo che è un aperto di $\mathbb{R}^n$

Grazie!

Un aperto di un sottoinsieme aperto è un aperto pure dello spazio più grande. È ovvio, non ti spaventare.